Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи

Объем является характеристикой любой фигуры, имеющей ненулевые размеры во всех трех измерениях пространства. В данной статье с точки зрения стереометрии (геометрии пространственных фигур) мы рассмотрим призму и покажем, как находить объемы призм различного вида.

Стереометрия располагает точным ответом на этот вопрос. Под призмой в ней понимают фигуру, образованную двумя многоугольными одинаковыми гранями и несколькими параллелограммами. На рисунке ниже показаны четыре разные призмы.

Каждую из них можно получить следующим образом: необходимо взять многоугольник (треугольник, четырехугольник и так далее) и отрезок определенной длины. Затем каждую вершину многоугольника следует перенести с помощью параллельных отрезков в другую плоскость. В новой плоскости, которая будет параллельна исходной, получится новый многоугольник, аналогичный выбранному изначально.

Призмы могут иметь разный тип. Так, они могут быть прямыми, наклонными и правильными. Если боковое ребро призмы (отрезок, соединяющий вершины оснований) перпендикулярно основаниям фигуры, то последняя является прямой. Соответственно, если это условие не выполняется, то речь идет о наклонной призме. Правильная фигура — это прямая призма с равноугольным и равносторонним основанием.

Объем правильных призм

Начнем с самого простого случая. Приведем формулу объема призмы правильной, имеющей n-угольное основание. Формула объема V для любой фигуры рассматриваемого класса имеет следующий вид:

То есть для определения объема достаточно рассчитать площадь одного из оснований S o и умножить ее на высоту h фигуры.

В случае правильной призмы обозначим длину стороны ее основания буквой a, а высоту, которая равна длине бокового ребра, буквой h. Если основание n-угольник правильный представляет, то для расчета его площади проще всего воспользоваться следующей универсальной формулой:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

Подставляя в равенство значение числа сторон n и длину одной стороны a, можно вычислить площадь n-угольного основания. Отметим, что функция котангенса здесь вычисляется для угла pi/n, который выражен в радианах.

Учитывая записанное для S n равенство, получаем конечную формулу объема призмы правильной:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

Для каждого конкретного случая можно записать соответствующие формулы для V, но все они однозначно следуют из записанного общего выражения. Например, для четырехугольной призмы правильной, которая в общем случае является прямоугольным параллелепипедом, получаем:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Если в этом выражении принять h=a, то мы получаем формулу для объема куба.

Объем прямых призм

Отметим сразу, что для прямых фигур не существует общей формулы для вычисления объема, которая была приведена выше для правильных призм. При нахождении рассматриваемой величины следует использовать исходное выражение:

Здесь h — это длина бокового ребра, как и в предыдущем случае. Что касается площади основания S o , то она может принимать самые разные значения. Задача расчета у прямой призмы объема сводится к нахождению площади ее основания.

Расчет величины S o следует проводить, исходя из особенностей самого основания. Например, если оно является треугольником, тогда площадь вычислить можно так:

Здесь h a — апофема треугольника, то есть его высота, опущенная на основание a.

Если основанием является четырехугольник, то он может быть трапецией, параллелограммом, прямоугольником или иметь совершенно произвольный тип. Для всех названых случаев следует воспользоваться соответствующей формулой планиметрии для определения площади. Например, для трапеции эта формула имеет вид:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

Где h a — высота трапеции, a 1 и a 2 — это длины ее параллельных сторон.

Чтобы определить площадь для многоугольников более высокого порядка, следует разбивать их на простые фигуры (треугольники, четырехугольники) и рассчитывать сумму площадей последних.

Объем наклонных призм

Это самый сложный случай расчета объема призмы. Общая формула для таких фигур также применима:

Тем не менее, к сложности нахождения площади основания, представляющего многоугольник произвольного типа, добавляется проблема определения высоты фигуры. Она в наклонной призме всегда меньше длины бокового ребра.

Проще всего эту высоту найти, если известен какой-либо угол фигуры (плоский или двугранный). Если такой угол дан, тогда следует с его использованием построить внутри призмы прямоугольный треугольник, который бы содержал в качестве одной из сторон высоту h и, пользуясь тригонометрическими функциями и теоремой Пифагора, найти величину h.

Геометрическая задача на определение объема

Дана правильная призма с треугольным основанием, имеющая высоту 14 см и длину стороны 5 см. Чему равен объем треугольной призмы?

Поскольку речь идет о правильной фигуре, то мы вправе воспользоваться известной формулой. Имеем:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 см3.

Треугольная призма является достаточно симметричной фигурой, в форме которой часто выполняют разные архитектурные сооружения. Эту призму из стекла используют в оптике.

Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи — все о путешествиях на сайт

Объем наклонной призмы

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Прямая призма, основанием

которой служит правильный

многоугольник, называется

правильной призмой.

Свойства правильной призмы:

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны .

Сечение ПРИЗМЫ.

Ортогональное сечение призмы - это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину бокового ребра.

S б =P орт.сеч C

1. Расстояния между ребрами наклонной

треугольной призмы равны: 2см, 3 см и 4см

Боковая поверхность призмы- 45см 2 .Найдите ее боковое ребро.

Решение:

В перпендикулярном сечении призмы треугольник, периметр которого 2+3+4=9

Значит боковое ребро равно 45:9=5(см)

Найдите неизвестные элементы

правильной треугольной

Призмы

по элементам, заданным в таблице.

ОТВЕТЫ.

Спасибо за урок.

Домашнее задание.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

«Объём тел» - Ф(x). Ф(х1). Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса. Ф(хi). Ф(х2). a x b x. При а =х и b=x в сечение может вырождаться точка, например, при х = а.

«Объем понятия» - 1.Площадь полной поверхности куба равна 6 м2. Или объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. Объёмы геометрических тел.

«Объёмы» - Упражнение 7. Упражнение 8*. Боковые ребра равны 3 и составляют с плоскостью основания угол 45о. Объем наклонной призмы 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Объем наклонной призмы 1. Ответ: Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов. Принцип Кавальери.

«Объёмы тел» - Объём пирамиды равен одной трети произведения основания на высоту. Объём пирамиды. Объём цилиндра. 2010 г. h. V=1/3S*h. Объемы подобных тел. V=a*b*c. Объём прямой призмы. Объемы тел. Следствие. Объём наклонной призмы. Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Сегодня мы выведем формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла.

Вспомним, что такое призма и какая призма называется наклонной?

ПРИЗМА — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) — параллелограммы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то призма прямая, в противном случае призма называется наклонной.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

1) Рассмотрим треугольную наклонную призму ВСЕВ2С2Е2. Объем данной призмы равен V, площадь основания — S, высота — h.

Воспользуемся формулой: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс.

V= , где площадь перпендикулярного оси Ох сечения. Выберем ось Ох, причем точка О — начало координат и лежит в плоскости ВСЕ (нижнее основание наклонной призмы). Направление оси Ох перпендикулярно плоскости ВСЕ. Тогда ось Ох пересечет плоскость в точке h, и проведем плоскость Е1 параллельную основаниям наклонной призмы и перпендикулярную оси Ох. Поскольку плоскости параллельны и боковые грани — это параллелограммы, то ВЕ= , СЕ=С1Е1=С2Е2; ВС=В1С1=В2С2

Откуда следует, что треугольники ВСЕ = E2 равны по трем сторонам. Если треугольники равны, значит, равны их площади. Площадь произвольного сечения S(х) равна площади основания Sосн.

В данном случае площадь основания является постоянной. В качестве пределов интегрирования возьмем 0 и h. Получаем формулу: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс или интеграл от 0 до h площади основания от икс дэ икс, площадь основания - это константа (постоянная величина), мы можем вынести ее за знак интеграла и получится, что интеграл от 0 до h дэ икс равен аш минус 0:

Получается, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

2) Докажем эту формулу для произвольной n- угольной наклонной призмы. Для доказательства возьмем пятиугольную наклонную призму. Выполним разбиения наклонной призмы на несколько треугольных призм, в данном случае — на три (так же, как при доказательстве теоремы об объеме прямой призмы). Обозначим объем наклонной призмы за V. Тогда объем наклонной призмы будет состоять из суммы объемов трех треугольных призм (по свойству объемов).

V=V1+V2+V3, а объем треугольной призмы мы ищем по формуле: объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Значит, объем наклонной призмы равен сумме произведений площадей основания на высоту, выносим высоту h за скобки (так как она одинаковая у трех призм) и получаем:

Теорема доказана.

Боковое ребро наклонной призмы — 4 см, составляет с плоскостью основания угол 30°.Стороны треугольника, которые лежат в основании, равны 12, 12, и 14 см. Найти объем наклонной призмы.

Дано: — наклонная призма,

АВ = 12 см, ВС = 12 см, АС = 14 см, В = 4 см, BK = 30° .

Найти: V - ?

Дополнительное построение: В наклонной призме проведем высоту Н.

Мы знаем, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

В основании наклонной призмы лежит произвольный треугольник, у которого известны все стороны, значит, применим формулу Герона: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения пэ на разность пэ и а, на разность пэ и бэ, на разность пэ и цэ, где пэ — полупериметр треугольника, который ищем по формуле: половина суммы всех сторон а, в и с:

считаем полупериметр:

Подставим значение полупериметра в формулу площади основания, упростим и получим ответ: семь корней из 95.

Рассмотрим ΔB H. Он прямоугольный, так как Н - высота наклонной призмы. Из определения синуса, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла

значение синус 30° равен одной второй, значит

Мы узнали, что

А высота Н - высота наклонной призмы — равна 2.

Следовательно, объем равен