Reegel mis tahes arvu nulliga korrutamiseks. Nulliga jagamine. Põnev matemaatika Suvaline arv, mis on korrutatud 0-ga, võrdub

Väga sageli mõtlevad paljud inimesed, miks on võimatu kasutada nulliga jagamist? Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult, kust see reegel tuli, ja ka seda, milliseid toiminguid saab nulliga teha.

Kokkupuutel

Nulli võib nimetada üheks huvitavamaks numbriks. Sellel numbril pole tähendust, tähendab see tühjust selle sõna otseses tähenduses. Kui aga panna suvalise numbri kõrvale null, muutub selle numbri väärtus mitu korda suuremaks.

Number on iseenesest väga salapärane. Seda kasutasid iidsed maiad. Maiade jaoks tähendas null "algust" ja ka kalendripäevade loendus algas nullist.

Väga huvitav fakt on see, et nulli ja määramatuse märk olid nende jaoks sarnased. Sellega tahtsid maiad näidata, et null on sama identne märk kui määramatus. Euroopas ilmus nulli tähistus suhteliselt hiljuti.

Samuti teavad paljud inimesed nulliga seotud keeldu. Iga inimene ütleb seda ei saa jagada nulliga. Seda räägivad koolis õpetajad ja lapsed võtavad tavaliselt sõna. Tavaliselt lapsed kas lihtsalt ei huvita seda teada või teavad, mis juhtub, kui tähtsat keeldu kuuldes küsivad nad kohe: "Miks ei saa nulliga jagada?". Kuid vanemaks saades tärkab huvi ja tekib tahtmine sellise keelu põhjuste kohta rohkem teada. Siiski on olemas mõistlikud tõendid.

Toimingud nulliga

Kõigepealt peate kindlaks määrama, milliseid toiminguid saab nulliga teha. Olemas mitut tüüpi tegevusi:

• Lisamine;
• Korrutamine;
• Lahutamine;
• Jagamine (null numbri järgi);
• Astendamine.

Tähtis! Kui liitmise käigus lisatakse suvalisele arvule null, siis see arv jääb samaks ega muuda selle numbrilist väärtust. Sama juhtub, kui lahutate mis tahes arvust nulli.

Korrutamise ja jagamisega on asjad veidi teisiti. Kui a korrutage mis tahes arv nulliga, siis muutub ka toode nulliks.

Kaaluge näidet:

Kirjutame selle lisana:

Kokku on lisatud viis nulli, nii et selgub, et

Proovime korrutada ühe nulliga. Tulemus on samuti null.

Nulli saab jagada ka mis tahes muu arvuga, mis ei ole sellega võrdne. Sel juhul selgub, mille väärtus on samuti null. Sama reegel kehtib ka negatiivsete arvude kohta. Kui jagate nulli negatiivse arvuga, saate nulli.

Samuti saate tõsta mis tahes numbrit nullvõimsusele. Sel juhul saate 1. Oluline on meeles pidada, et väljend "null-null võimsus" on täiesti mõttetu. Kui proovite tõsta nulli mis tahes astmeni, saate nulli. Näide:

Kasutame korrutamisreeglit, saame 0.

Kas on võimalik jagada nulliga

Niisiis, siin jõuame põhiküsimuseni. Kas on võimalik jagada nulligaüldiselt? Ja miks on võimatu arvu jagada nulliga, arvestades, et kõik muud nulliga tehted on täielikult olemas ja kehtivad? Sellele küsimusele vastamiseks peate pöörduma kõrgema matemaatika poole.

Alustame mõiste määratlusega, mis on null? Kooliõpetajad väidavad, et null pole midagi. Tühjus. See tähendab, et kui ütlete, et teil on 0 pliiatsit, tähendab see, et teil pole üldse pastakaid.

Kõrgemas matemaatikas on "null" mõiste laiem. See ei tähenda üldse tühja. Siin nimetatakse nulli määramatuseks, sest kui veidi uurida, siis selgub, et nulli nulliga jagades saame tulemuseks mis tahes muu arvu, mis ei pruugi olla null.

Kas tead, et need lihtsad aritmeetilised tehted, mida koolis õppisid, pole omavahel nii võrdsed? Kõige elementaarsemad sammud on liitmine ja korrutamine.

Matemaatikute jaoks mõisteid "" ja "lahutamine" ei eksisteeri. Oletame: kui viiest lahutada kolm, siis jääb alles kaks. Selline näeb välja lahutamine. Matemaatikud kirjutaksid selle aga nii:

Seega selgub, et tundmatu erinevus on teatud arv, mis tuleb 5 saamiseks lisada 3-le. See tähendab, et pole vaja midagi lahutada, vaid tuleb leida sobiv arv. See reegel kehtib lisamise kohta.

Nendega on asjad veidi teisiti korrutamise ja jagamise reeglid. On teada, et nulliga korrutamine annab nulli. Näiteks kui 3:0=x, siis kirje ümberpööramisel saad 3*x=0. Ja arv, mis korrutatakse 0-ga, annab korrutis nulli. Selgub, et arvu, mis annaks nulliga korrutis mis tahes muu väärtuse peale nulli, pole olemas. See tähendab, et nulliga jagamine on mõttetu, see tähendab, et see sobib meie reegliga.

Aga mis juhtub, kui proovite nulli endaga jagada? Võtame x mingi ebamäärase arvuna. Selgub, et võrrand 0 * x \u003d 0. Seda saab lahendada.

Kui proovime võtta x asemel nulli, saame 0:0=0. Kas see tunduks loogiline? Aga kui proovime võtta x asemel suvalise teise arvu, näiteks 1, siis saame tulemuseks 0:0=1. Sama olukord on siis, kui võtate mõne muu numbri ja ühendage see võrrandisse.

Sel juhul selgub, et teguriks võime võtta mis tahes muu arvu. Tulemuseks on lõpmatu arv erinevaid numbreid. Mõnikord on kõrgemas matemaatikas 0-ga jagamine siiski mõttekas, kuid siis on tavaliselt mingi tingimus, mille tõttu saame ikkagi valida ühe sobiva arvu. Seda toimingut nimetatakse "määramatuse avalikustamiseks". Tavalises aritmeetikas kaotab nulliga jagamine taas oma tähenduse, kuna me ei saa hulgast valida ühtegi numbrit.

Tähtis! Nulli ei saa nulliga jagada.

Null ja lõpmatus

Lõpmatus on kõrgemas matemaatikas väga levinud. Kuna koolilastel pole lihtsalt oluline teada, et matemaatilisi tehteid lõpmatusega ikka on, ei oska õpetajad lastele korralikult selgitada, miks nulliga jagada ei saa.

Üliõpilased hakkavad põhilisi matemaatilisi saladusi õppima alles instituudi esimesel kursusel. Kõrgem matemaatika pakub suure hulga probleeme, millele pole lahendust. Kõige kuulsamad probleemid on lõpmatusega seotud probleemid. Neid saab lahendada koos matemaatiline analüüs.

Võite taotleda ka lõpmatuseni elementaarsed matemaatilised tehted: liitmine, arvuga korrutamine. Tavaliselt kasutatakse ka lahutamist ja jagamist, kuid lõpuks taanduvad need siiski kahele lihtsale toimingule.

Aga mis saab kui proovite:

• Korrutage lõpmatus nulliga. Teoreetiliselt, kui proovime korrutada mis tahes arvu nulliga, saame nulli. Kuid lõpmatus on määramatu arvude hulk. Kuna me ei saa sellest hulgast valida ühte arvu, pole avaldisel ∞*0 lahendust ja see on täiesti mõttetu.
• Null jagatud lõpmatusega. See on sama lugu, mis eespool. Me ei saa valida ühte numbrit, mis tähendab, et me ei tea, millega jagada. Väljendil pole mõtet.

Tähtis! Lõpmatus on veidi erinev määramatusest! Lõpmatus on teatud tüüpi ebakindlus.

Nüüd proovime lõpmatust nulliga jagada. Näib, et seal peaks olema ebakindlust. Aga kui proovime jagamist asendada korrutamisega, saame väga kindla vastuse.

Näiteks: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

See selgub niimoodi matemaatiline paradoks.

Miks ei saa nulliga jagada

Mõttekatse, proovige jagada nulliga

Järeldus

Nüüd teame, et nulliga tehakse peaaegu kõik toimingud, välja arvatud üksainus. Nulliga ei saa jagada lihtsalt sellepärast, et tulemuseks on ebakindlus. Õppisime ka nulli ja lõpmatusega opereerimist. Selliste toimingute tagajärjeks on ebakindlus.

Null ise on väga huvitav number. Iseenesest tähendab see tühjust, tähenduse puudumist ja teise numbri kõrval suurendab selle olulisust 10 korda. Kõik nullkraadised arvud annavad alati 1. Seda märki kasutati juba maiade tsivilisatsioonis ja need tähistasid ka mõistet "algus, põhjus". Isegi kalender algas nullist. Ja see näitaja on seotud range keeluga.

Algkoolieast saadik oleme kõik selgelt õppinud reeglit "nulliga jagada ei saa". Aga kui lapsepõlves võtad palju usku ja täiskasvanud sõnad tekitavad harva kahtlusi, siis aja möödudes tahad vahel ikkagi põhjustest aru saada, aru saada, miks mingid reeglid kehtestati.

Miks ei saa nulliga jagada? Tahaksin saada sellele küsimusele selget loogilist seletust. Esimeses klassis ei saanud õpetajad seda teha, sest matemaatikas seletatakse reegleid võrrandite abil ja selles vanuses polnud meil õrna aimugi, millega tegu. Ja nüüd on aeg see välja mõelda ja saada selge loogiline seletus, miks te ei saa nulliga jagada.

Fakt on see, et matemaatikas tunnustatakse ainult kahte neljast põhitehtest (+, -, x, /) arvudega iseseisvaks: korrutamist ja liitmist. Ülejäänud toimingud loetakse tuletisinstrumentideks. Vaatleme lihtsat näidet.

Ütle mulle, kui palju see välja tuleb, kui 20-st lahutada 18? Loomulikult tekib peas kohe vastus: saab 2. Ja kuidas me sellise tulemuseni jõudsime? Mõnele tundub see küsimus kummaline - lõppude lõpuks on kõik selge, et see osutub 2, keegi selgitab, et ta võttis 20 kopikast 18 ja sai kaks kopikat. Loogiliselt võttes ei tekita kõik need vastused kahtlust, kuid matemaatika seisukohalt tuleks seda ülesannet lahendada teisiti. Tuletagem veel kord meelde, et matemaatikas on põhitehted korrutamine ja liitmine ning seetõttu peitub meie puhul vastus järgmise võrrandi lahendamises: x + 18 = 20. Millest järeldub, et x = 20 - 18, x = 2 . Näib, miks maalida kõike nii üksikasjalikult? Lõppude lõpuks on kõik nii lihtne. Ilma selleta on aga raske seletada, miks on võimatu nulliga jagada.

Nüüd vaatame, mis juhtub, kui tahame jagada 18 nulliga. Koostame uuesti võrrandi: 18: 0 = x. Kuna jagamistehe on korrutamisprotseduuri tuletis, siis oma võrrandit teisendades saame x * 0 = 18. Siit algab ummik. Mis tahes arv x asemel nulliga korrutatuna annab 0 ja meil ei õnnestu saada 18. Nüüd saab äärmiselt selgeks, miks ei saa nulliga jagada. Nulli ise saab jagada mis tahes arvuga, kuid vastupidi - paraku on see võimatu.

Mis juhtub, kui null jagatakse iseenesest? Selle saab kirjutada järgmisel kujul: 0: 0 = x või x * 0 = 0. Sellel võrrandil on lõpmatu arv lahendeid. Nii et lõpptulemus on lõpmatus. Seetõttu pole ka sel juhul toimingul mõtet.

0-ga jagamine on paljude väljamõeldud matemaatiliste naljade juur, mis võib soovi korral segadusse ajada iga asjatundmatu inimese. Näiteks kaaluge võrrandit: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35. Võtame vasakult sulgudest välja 4 ja paremalt 7. Saame: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (x - 5). Nüüd korrutame võrrandi vasaku ja parema külje murdosaga 1 / (x - 5). Võrrand on järgmisel kujul: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5). Vähendame murde (x - 5) võrra ja saame, et 4 \u003d 7. Sellest võime järeldada, et 2 * 2 \u003d 7! Muidugi on siin konks selles, et see võrdub 5-ga ja murdude vähendamine oli võimatu, kuna see viis nulliga jagamiseni. Seetõttu tuleb murdude vähendamisel alati kontrollida, et null kogemata nimetajasse ei satuks, muidu osutub tulemus täiesti ettearvamatuks.

Isegi koolis püüdsid õpetajad meile pähe lüüa kõige lihtsamat reeglit: "Iga number, mis on korrutatud nulliga, võrdub nulliga!", - aga sellegipoolest käib tema ümber palju poleemikat. Keegi lihtsalt jättis reegli pähe ja ei vaeva end küsimusega “miks?”. "Siin ei saa kõike teha, sest koolis öeldi nii, reegel on reegel!" Keegi võib täita pool märkmikku valemitega, tõestades seda reeglit või vastupidi, selle ebaloogilisust.

Kokkupuutel

Kellel on lõpuks õigus

Nende vaidluste ajal vaatavad mõlemad vastandlike seisukohtadega inimesed üksteisele otsa nagu jäärale ja tõestavad kõigest jõust, et neil on õigus. Kuigi kõrvalt vaadates on näha mitte üks, vaid kaks jäära, kes sarvedega üksteise vastu puhkavad. Ainus erinevus nende vahel on see, et üks on veidi vähem haritud kui teine.

Kõige sagedamini püüavad need, kes peavad seda reeglit valeks, kutsuda loogikat järgmiselt:

Mul on laual kaks õuna, kui ma panen neile null õuna, see tähendab, et ma ei pane ühte, siis ei kao mu kaks õuna sellest kuhugi! Reegel on ebaloogiline!

Tõepoolest, õunad ei kao kuhugi, kuid mitte sellepärast, et reegel oleks ebaloogiline, vaid seetõttu, et siin kasutatakse veidi teistsugust võrrandit: 2 + 0 \u003d 2. Seega jätame sellise järelduse kohe kõrvale - see on ebaloogiline, kuigi sellel on vastupidine eesmärk - kutsuda loogikale.

Mis on korrutamine

Algne korrutamisreegel defineeriti ainult naturaalarvude jaoks: korrutamine on arv, mis liidetakse iseendale teatud arv kordi, mis viitab arvu loomulikkusele. Seega saab iga korrutisega arvu taandada sellele võrrandile:

1. 25x3=75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25x3 = 25 + 25 + 25

Sellest võrrandist järeldub, et korrutamine on lihtsustatud liitmine.

Mis on null

Iga inimene teab lapsepõlvest: null on tühjus Vaatamata sellele, et sellel tühjusel on tähistus, ei kanna see üldse midagi. Muistsed Ida teadlased mõtlesid teisiti – nad lähenesid küsimusele filosoofiliselt ja tõmbasid mõningaid paralleele tühjuse ja lõpmatuse vahel ning nägid selles numbris sügavat tähendust. Lõppude lõpuks korrutab null, millel on tühjuse väärtus, mis tahes naturaalarvu kõrval, selle kümnekordseks. Sellest ka kogu korrutamise vaidlus – see arv sisaldab nii palju ebakõlasid, et on raske mitte segadusse sattuda. Lisaks kasutatakse nulli pidevalt tühjade numbrite määramiseks kümnendmurdudes, seda tehakse nii enne kui ka pärast koma.

Kas on võimalik tühjusega korrutada

Nulliga on võimalik korrutada, kuid see on kasutu, sest, mida iganes öeldakse, aga isegi negatiivsete arvude korrutamisel saadakse ikkagi null. Piisab, kui meeles pidada seda lihtsaimat reeglit ja mitte kunagi seda küsimust enam esitada. Tegelikult on kõik lihtsam, kui esmapilgul tundub. Nagu muistsed teadlased uskusid, pole varjatud tähendusi ja saladusi. Allpool antakse kõige loogilisem selgitus, et see korrutamine on kasutu, sest arvu sellega korrutades saadakse ikkagi sama asi - null.

Päris algusesse tagasi tulles näeb argument kahe õuna kohta 2 korda 0 välja selline:

• Kui sa sööd viis korda kaks õuna, siis sööd 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 õuna
• Kui sööte neist kahte kolm korda, siis sööte 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 õuna
• Kui sa sööd kaks õuna null korda, siis ei sööda midagi - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

Lõppude lõpuks tähendab õuna 0 korda söömine mitte ainsatki söömist. See saab selgeks ka kõige väiksemale lapsele. Meeldib või mitte, aga 0 tuleb välja, kaks või kolm saab asendada absoluutselt suvalise arvuga ja välja tuleb absoluutselt sama asi. Ja lihtsalt öeldes, null pole midagi ja kui sul on seal pole midagi, siis olenemata sellest, kui palju sa korrutad – kõik on sama saab olema null. Maagiat pole olemas ja millestki ei saa õuna, isegi kui korrutada 0 miljoniga. See on nulliga korrutamise reegli kõige lihtsam, arusaadavam ja loogilisem seletus. Inimesele, kes pole kaugeltki kõigist valemitest ja matemaatikast, piisab sellisest selgitusest, et dissonants peas laheneks ja kõik loksuks.

Jaoskond

Kõigest ülaltoodust tuleneb veel üks oluline reegel:

Nulliga jagada ei saa!

Ka see reegel on meile lapsepõlvest peale visalt pähe löödud. Me lihtsalt teame, et see on võimatu ja ongi kõik, toppimata oma päid mittevajaliku infoga. Kui teile esitatakse järsku küsimus, et mis põhjusel on nulliga jagamine keelatud, siis on enamus segaduses ega suuda kooli õppekava kõige lihtsamale küsimusele selgelt vastata, sest seal pole nii palju vaidlusi ja vastuolusid. selle reegli ümber.

Kõik õppisid reegli lihtsalt pähe ega jaga nulliga, kahtlustamata, et vastus peitub pinnal. Liitmine, korrutamine, jagamine ja lahutamine on ebavõrdsed, ülaltoodut on täis ainult korrutamine ja liitmine ning kõik muud arvudega manipulatsioonid on nendest üles ehitatud. See tähendab, et kirje 10: 2 on võrrandi 2 * x = 10 lühend. Seetõttu on kirje 10: 0 sama lühend 0 * x = 10 jaoks. Selgub, et nulliga jagamine on ülesanne, mis tuleb leida. arv, korrutades 0-ga, saad 10 Ja me oleme juba aru saanud, et sellist arvu pole olemas, mis tähendab, et sellel võrrandil pole lahendust ja see on a priori vale.

Las ma räägin sulle

Et mitte 0-ga jagada!

Lõika 1 nii, nagu sulle meeldib, mööda,

Lihtsalt ära jaga 0-ga!

Jevgeni Širjajev, lektor ja polütehnilise muuseumi matemaatika labori juhataja, rääkis AiF.ru-le nulliga jagamisest:

1. Küsimuse jurisdiktsioon

Nõus, keeld annab reeglile erilise provokatiivsuse. Kuidas on see võimatu? Kes keelas? Aga kuidas on lood meie kodanikuõigustega?

Ei Vene Föderatsiooni põhiseadus ega kriminaalkoodeks ega isegi teie kooli põhikiri ei keela meid huvitavat intellektuaalset tegevust. See tähendab, et keelul pole juriidilist jõudu ja miski ei takista siin, AiF.ru lehtedel, püüdmast midagi nulliga jagada. Näiteks tuhat.

2. Jaga nagu õpetatud

Pidage meeles, et kui te esimest korda jagamist õppisite, lahendati esimesed näited korrutamise teel: jagajaga korrutatud tulemus pidi ühtima jagatavaga. Ei sobinud – ei otsustanud.

Näide 1 1000: 0 =...

Unustame minutiks keelatud reegli ja teeme mitu katset vastust ära arvata.

Vale katkestab tšeki. Korrake valikuid: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Kõigi nende puhul annab test sama tulemuse:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Null korrutamisega muudab kõik iseendaks ja mitte kunagi tuhandeks. Järeldust on lihtne sõnastada: ükski number ei läbi testi. See tähendab, et ükski arv ei saa olla nullist erineva arvu jagamise tulemus nulliga. Selline jaotus ei ole keelatud, vaid sellel pole lihtsalt tulemust.

3. Nüanss

Peaaegu jäi kasutamata üks võimalus keeld ümber lükata. Jah, me mõistame, et nullist erinev arv ei jagu 0-ga. Aga võib-olla ka 0 ise saab?

Näide 2 0: 0 = ...

Teie ettepanekud privaatseks kasutamiseks? 100? Palun: jagatis 100, mis on korrutatud 0 jagajaga, on võrdne 0 jagatavaga.

Veel valikuid! üks? Sobib ka. Ja -23 ja 17 ja kõik-kõik-kõik. Selles näites on tulemuste kontroll positiivne mis tahes arvu korral. Ja ausalt öeldes ei tohiks selle näite lahendust nimetada numbriks, vaid numbrite hulgaks. Kõik. Ja ei lähe kaua, kui nõustume, et Alice pole Alice, vaid Mary Ann ja mõlemad on jänese unistus.

4. Kuidas on lood kõrgema matemaatikaga?

Ülesanne on lahendatud, nüansid on arvesse võetud, punktid paigutatud, kõik on selge - nulliga jagamise näite puhul ei saa ükski arv vastata. Selliste probleemide lahendamine on lootusetu ja võimatu. Nii huvitav! Topelt kaks.

Näide 3 Mõelge välja, kuidas jagada 1000 0-ga.

Aga mitte kuidagi. Kuid 1000 saab hõlpsasti jagada teiste arvudega. Noh, teeme vähemalt seda, mis töötab, isegi kui ülesannet muudame. Ja seal, näed, hakkame minema ja vastus ilmub iseenesest. Unustage minutiks null ja jagage sajaga:

Sada on nullist kaugel. Astume sammu selle poole, vähendades jagajat:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Ilmne dünaamika: mida lähemal on jagaja nullile, seda suurem on jagatis. Suundumust saab jälgida veelgi, liikudes murdude juurde ja jätkates lugeja vähendamist:

Jääb veel märkida, et saame nullile läheneda nii lähedale kui soovime, muutes jagatise meelevaldselt suureks.

Selles protsessis ei ole nulli ega viimast jagatist. Näitasime liikumist nende poole, asendades numbri järjestusega, mis läheneb meid huvitavale numbrile:

See tähendab dividendi sarnast asendamist:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nooled on mingil põhjusel kahepoolsed: mõned jadad võivad koonduda numbriteks. Siis saame seostada jada selle numbrilise piiranguga.

Vaatame jagandite jada:

See kasvab lõputult, püüdledes arvukuse poole ja ületades ühtegi. Matemaatikud lisavad numbritele sümboleid ∞ et saaks sellise järjestuse kõrvale panna kahepoolse noole:

Jadade arvu võrdlemine piiranguga võimaldab meil pakkuda välja lahenduse kolmandale näitele:

Jagades elemendipõhiselt 1000-le koonduva jada positiivsete arvude jadaga, mis koonduvad 0-le, saame jada, mis läheneb ∞-le.

5. Ja siin on kahe nulliga nüanss

Mis on tulemus, kui jagatakse kaks positiivsete arvude jada, mis lähenevad nullile? Kui need on samad, siis identne üksus. Kui jada-dividend koondub nullile kiiremini, siis konkreetses jadas nullpiiranguga. Ja kui jagaja elemendid vähenevad palju kiiremini kui dividend, kasvab jagatisjada tugevalt:

Ebakindel olukord. Ja nii seda nimetatakse: vormi määramatus 0/0 . Kui matemaatikud näevad jadasid, mis jäävad sellise määramatuse alla, ei torma nad kahte identset arvu omavahel jagama, vaid nuputavad, milline jadadest jookseb kiiremini nulli ja kuidas. Ja igal näitel on oma konkreetne vastus!

6. Elus

Ohmi seadus seostab voolu, pinget ja takistust vooluringis. Sageli kirjutatakse see järgmisel kujul:

Jätame tähelepanuta täpse füüsilise mõistmise ja vaadelgem formaalselt paremat poolt kahe arvu jagatisena. Kujutage ette, et me lahendame kooliprobleemi elektriga. Tingimuseks on antud pinge voltides ja takistus oomides. Küsimus on ilmne, otsus ühe toiminguga.

Vaatame nüüd ülijuhtivuse definitsiooni: see on teatud metallide omadus omada null elektritakistust.

Noh, lahendame ülijuhtiva ahela probleemi? Lihtsalt pane see nii R= 0 ei õnnestu, füüsika viskab õhku huvitava probleemi, mille taga on ilmselgelt teaduslik avastus. Ja inimesed, kellel õnnestus selles olukorras nulliga jagada, said Nobeli preemia. Kasulik on võimalus igasugustest keeldudest mööda minna!

Numbrit 0 saab kujutada teatud piirina, mis eraldab reaalarvude maailma kujuteldavatest või negatiivsetest. Mitmetähendusliku positsiooni tõttu ei allu paljud selle arvväärtusega tehted matemaatilisele loogikale. Suutmatus nulliga jagada on selle suurepärane näide. Ja lubatud aritmeetilisi tehteid nulliga saab teha üldtunnustatud definitsioonide abil.

Nulli ajalugu

Null on kõigi standardsete numbrisüsteemide võrdluspunkt. Eurooplased hakkasid seda numbrit kasutama suhteliselt hiljuti, kuid iidse India targad kasutasid nulli tuhat aastat, enne kui Euroopa matemaatikud hakkasid regulaarselt kasutama tühja numbrit. Juba enne indiaanlasi oli null maiade arvusüsteemis kohustuslik väärtus. See Ameerika rahvas kasutas kaksteistkümnendsüsteemi ja alustas iga kuu esimest päeva nulliga. Huvitav on see, et maiade seas kattus "null" märk täielikult "lõpmatuse" märgiga. Seega jõudsid muistsed maiad järeldusele, et need kogused on identsed ja tundmatud.

Matemaatikatehted nulliga

Standardseid matemaatilisi tehteid nulliga saab taandada mõneks reegliks.

Lisamine: kui lisate suvalisele arvule nulli, siis see ei muuda selle väärtust (0+x=x).

Lahutamine: mis tahes arvust nulli lahutamisel jääb lahutatu väärtus muutumatuks (x-0=x).

Korrutamine: suvaline arv, mis on korrutatud 0-ga, annab korrutis 0 (a*0=0).

Jagamine: nulli saab jagada mis tahes nullist erineva arvuga. Sel juhul on sellise murru väärtus 0. Ja nulliga jagamine on keelatud.

Astendamine. Seda toimingut saab teha mis tahes numbriga. Suvaline arv, mis on tõstetud nulli astmeni, annab 1 (x 0 =1).

Null mis tahes astmeni on võrdne 0-ga (0 a \u003d 0).

Sel juhul tekib kohe vastuolu: avaldisel 0 0 pole mõtet.

Matemaatika paradoksid

Seda, et nulliga jagamine on võimatu, teavad paljud kooliajast. Aga millegipärast pole sellise keelu põhjust võimalik selgitada. Tõepoolest, miks pole nulliga jagamise valemit olemas, kuid muud selle numbriga toimingud on üsna mõistlikud ja võimalikud? Vastuse sellele küsimusele annavad matemaatikud.

Asi on selles, et tavalised aritmeetilised tehted, mida koolilapsed algklassides õpivad, pole tegelikult kaugeltki nii võrdsed, kui me arvame. Kõik lihtsad arvudega tehtavad toimingud saab taandada kaheks: liitmine ja korrutamine. Need toimingud on arvu kontseptsiooni olemus ja ülejäänud toimingud põhinevad nende kahe kasutamisel.

Liitmine ja korrutamine

Võtame standardse lahutamise näite: 10-2=8. Koolis mõeldakse lihtsalt: kui kümnest esemest kaks ära võtta, jääb alles kaheksa. Kuid matemaatikud vaatavad seda operatsiooni hoopis teisiti. Nende jaoks ei ole ju sellist tehet nagu lahutamine. Selle näite saab kirjutada ka teistmoodi: x+2=10. Matemaatikute jaoks on tundmatu erinevus lihtsalt arv, mis tuleb kahele liita, et saada kaheksa. Ja siin pole vaja lahutada, tuleb lihtsalt leida sobiv arvväärtus.

Korrutamist ja jagamist käsitletakse samal viisil. Näites 12:4=3 võib aru saada, et jutt käib kaheksa objekti jagamisest kaheks võrdseks hunnikuks. Kuid tegelikult on see lihtsalt ümberpööratud valem 3x4 \u003d 12 kirjutamiseks. Selliseid jagamise näiteid saab tuua lõputult.

Näited 0-ga jagamiseks

Siin saab veidi selgeks, miks nulliga jagada on võimatu. Nulliga korrutamisel ja jagamisel on oma reeglid. Kõik näited selle suuruse jaotuse kohta võib formuleerida kujul 6:0=x. Kuid see on avaldise 6 * x = 0 ümberpööratud avaldis. Kuid nagu teate, annab iga arv korrutatuna 0-ga korrutis ainult 0. See omadus on omane nullväärtuse kontseptsioonile.

Selgub, et sellist arvu, mis 0-ga korrutades annab mingi käegakatsutava väärtuse, pole olemas ehk sellel ülesandel pole lahendust. Sellist vastust ei tasu karta, see on loomulik vastus seda tüüpi probleemidele. Lihtsalt 6:0 kirjutamisel pole mõtet ja see ei seleta midagi. Lühidalt võib seda väljendit seletada surematuga "nulliga ei jagata".

Kas on 0:0 operatsioon? Tõepoolest, kui 0-ga korrutamine on seaduslik, kas nulli saab jagada nulliga? Lõppude lõpuks on võrrand kujul 0x5=0 üsna seaduslik. Numbri 5 asemel võite panna 0, toode sellest ei muutu.

Tõepoolest, 0x0 = 0. Kuid ikkagi ei saa 0-ga jagada. Nagu mainitud, on jagamine lihtsalt korrutamise pöördväärtus. Seega, kui näites 0x5=0 peate määrama teise teguri, saame 0x0=5. Või 10. Või lõpmatus. Lõpmatuse jagamine nulliga – kuidas see teile meeldib?

Aga kui avaldisesse sobib suvaline arv, siis pole sellel mõtet, me ei saa seda valida lõpmatu arvude hulgast. Ja kui nii, siis see tähendab, et väljendil 0:0 pole mõtet. Selgub, et isegi nulli ennast ei saa nulliga jagada.

kõrgem matemaatika

Nulliga jagamine valmistab keskkooli matemaatikale peavalu. Tehnikaülikoolides õpitav matemaatiline analüüs laiendab veidi lahenduseta probleemide mõistet. Näiteks juba tuntud avaldisele 0:0 lisatakse uued, millel pole koolimatemaatika kursustel lahendust:

• lõpmatus jagatud lõpmatusega: ?:?;
• lõpmatus miinus lõpmatus: ???;
• ühik tõstetakse lõpmatu astmeni: 1? ;
• lõpmatus korrutatuna 0-ga: ?*0;
• mõned teised.

Selliseid avaldisi on elementaarsete meetoditega võimatu lahendada. Kuid kõrgem matemaatika annab tänu lisavõimalustele paljude sarnaste näidete jaoks lõplikud lahendused. See ilmneb eriti selgelt probleemide käsitlemisel piiride teooriast.

Ebakindluse avalikustamine

Piiride teoorias asendatakse väärtus 0 tingimusliku lõpmatult väikese muutujaga. Ja avaldised, milles soovitud väärtuse asendamisel saadakse nulliga jagamine, teisendatakse. Allpool on standardnäide piiride laiendamisest tavaliste algebraliste teisenduste abil:

Nagu näites näha, annab murdosa lihtne vähendamine selle väärtuse täiesti ratsionaalsele vastusele.

Arvestades trigonomeetriliste funktsioonide piire, kipuvad nende avaldised taanduma esimese tähelepanuväärse piirini. Arvestades piire, milles nimetaja läheb limiidi asendamisel 0-ni, kasutatakse teist märkimisväärset piiri.

L'Hopital meetod

Mõningatel juhtudel saab avaldiste piirid asendada nende tuletiste piiriga. Guillaume Lopital on prantsuse matemaatik, Prantsuse matemaatilise analüüsi koolkonna rajaja. Ta tõestas, et avaldiste piirid on võrdsed nende avaldiste tuletiste piiridega. Matemaatilises tähistuses on tema reegel järgmine.

Praegu kasutatakse L'Hopitali meetodit edukalt 0:0 või ?:? tüüpi määramatuste lahendamisel.

Kuidas jagada ja korrutada 0,1-ga; 0,01; 0,001 jne?

Kirjutage jagamise ja korrutamise reeglid.

Arvu korrutamiseks 0,1-ga peate lihtsalt koma liigutama.

Näiteks oli 56 , sai 5,6 .

Sama arvuga jagamiseks peate liigutama koma vastupidises suunas:

Näiteks oli 56 , sai 560 .

Numbriga 0,01 on kõik sama, kuid peate selle üle kandma 2 tähemärgile, mitte ühele.

Üldiselt kui palju nulle, nii palju ja ülekanne.

Näiteks on number 123456789.

Peate selle korrutama 0,000000001-ga

Arvus 0,000000001 on üheksa nulli (loeme ka koma vasakule jääva nulli), mis tähendab, et nihutame arvu 123456789 9 numbri võrra:

See oli 123456789, millest sai 0,123456789.

Selleks, et mitte korrutada, vaid jagada sama arvuga, liigume teisele poole:

See oli 123456789, millest sai 123456789000000000.

Täisarvu selliseks nihutamiseks omistame sellele lihtsalt nulli. Ja murdosas liigutame koma.

Arvu jagamine 0,1-ga võrdub selle arvu korrutamisega 10-ga

Arvu jagamine 0,01-ga võrdub selle arvu korrutamisega 100-ga

0,001-ga jagamine korrutab 1000-ga.

Jälgimise hõlbustamiseks loeme arvu, millega peame koma ignoreerides jagama paremalt vasakule, ja korrutama saadud arvuga.

Näide: 50: 0,0001. See on nagu 50 korrutamine (loe paremalt vasakule ilma komata – 10000) 10000. Selgub, et 500000.

Sama korrutamisega, ainult vastupidi:

400 x 0,01 on sama, mis 400 jagamine (loe paremalt vasakule ilma komata – 100) 100: 400: 100 = 4.

Kellele on selliste arvudega korrutamisel ja jagamisel mugavam kanda komasid paremale ja korrutamisel vasakule, saab seda teha.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Kümnendjaotus

I. Arvu kümnendkohaga jagamiseks peate nihutama dividendi- ja jagamiskoha koma paremale, kui palju on pärast jagaja koma, ja seejärel jagama naturaalarvuga.

Primery.

Tehke jagamine: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Lahendus.

Näide 1) 16,38: 0,7.

Jagajas 0,7 koma järel on üks koht, seetõttu nihutame dividendis koma ja jagame ühe koha võrra paremale.

Siis peame jagama 163,8 peal 7 .

Tehke jagamine vastavalt kümnendmurdu naturaalarvuga jagamise reeglile.

Jagame nii, nagu jagame naturaalarvusid. Kuidas numbrit alla võtta 8 - esimene number pärast koma (s.o kümnendal kohal olev number), seega kohe pane privaatne koma ja jätkake jagamist.

Vastus: 23.4.

Näide 2) 15,6: 0,15.

Liiguta dividendi koma ( 15,6 ) ja jagaja ( 0,15 ) kaks numbrit paremale, kuna jagajas 0,15 pärast koma on kaks numbrit.

Pidage meeles, et paremal asuvale kümnendmurrule saab määrata nii palju nulle, kui soovite ja kümnendmurd sellest ei muutu.

15,6:0,15=1560:15.

Tehke naturaalarvude jagamine.

Vastus: 104.

Näide 3) 3,114: 4,5.

Liigutage komad dividendis ja jagage üks number paremale ja jagage 31,14 peal 45 kümnendmurru naturaalarvuga jagamise reegli järgi.

3,114:4,5=31,14:45.

Privaatselt pange koma kohe, kui me kuju lammutame 1 kümnendal kohal. Seejärel jätkame jagamist.

Jaotuse lõpuleviimiseks pidime määrama null numbrile 9 - numbrite erinevus 414 ja 405 . (teame, et paremal asuvale kümnendmurrule saab määrata nulle)

Vastus: 0,692.

Näide 4) 53,84: 0,1.

Komad kanname dividendi ja jagaja poolt 1 number paremale.

Saame: 538,4:1=538,4.

Analüüsime võrdsust: 53,84:0,1=538,4. Pöörame selles näites tähelepanu komale dividendis ja komale saadud jagatises. Pange tähele, et dividendi koma on teisaldatud 1 number paremale, justkui korrutaksime 53,84 peal 10. (Vaadake videot "Komakoha korrutamine 10, 100, 1000 jne") Siit tuleneb reegel kümnendkoha jagamiseks 0,1; 0,01; 0,001 jne.

II. Kümnendkoha jagamiseks 0,1; 0,01; 0,001 jne, peate nihutama koma 1, 2, 3 jne numbri võrra paremale. (Komakoha jagamine 0,1; 0,01; 0,001 jne on sama, mis kümnendkoha korrutamine 10, 100, 1000 jne.)

Näited.

Tehke jagamine: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Lahendus.

Näide 1) 617,35: 0,1.

Reegli järgi II jagunemiseks 0,1 võrdub korrutamisega 10 , ja liigutage dividendis koma 1 number paremale:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Näide 2) 0,235: 0,01.

Jagamine 0,01 võrdub korrutamisega 100 , mis tähendab, et kanname dividendis koma peal 2 numbrit paremale:

2) 0,235:0,01=23,5.

Näide 3) 2,7845: 0,001.

Sest jagunemiseks 0,001 võrdub korrutamisega 1000 , seejärel liigutage koma 3 numbrit paremale:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Näide 4) 26,397: 0,0001.

Jaga kümnendkohaga 0,0001 on sama kui selle korrutamine 10000 (liiguta koma 4 numbriga õige). Saame:

www.mathematics-repetition.com

Korrutamine ja jagamine arvudega nagu 10, 100, 0,1, 0,01

See videoõpetus on saadaval tellimisel

Kas teil on juba tellimus? Tulla sisse

Selles õppetükis vaatleme, kuidas teostada korrutamist ja jagamist arvudega nagu 10, 100, 0,1, 0,001. Lahendatakse ka erinevaid selleteemalisi näiteid.

Arvude korrutamine 10, 100-ga

Harjutus. Kuidas korrutada arvu 25,78 10-ga?

Antud arvu kümnendmärk on summa lühendatud märge. Peate seda üksikasjalikumalt kirjeldama:

Seega peate summa korrutama. Selleks saate lihtsalt iga termini korrutada:

Selgub, et.

Võime järeldada, et kümnendkoha korrutamine 10-ga on väga lihtne: peate nihutama koma ühe koha võrra paremale.

Harjutus. Korrutage 25,486 100-ga.

100-ga korrutamine on sama, mis kaks korda 10-ga. Teisisõnu peate koma kaks korda paremale nihutama:

Arvude jagamine 10, 100-ga

Harjutus. Jagage 25,78 10-ga.

Nagu ka eelmisel juhul, tuleb arv 25,78 esitada summana:

Kuna peate summa jagama, võrdub see iga liikme jagamisega:

Selgub, et 10-ga jagamiseks peate nihutama koma ühe koha võrra vasakule. Näiteks:

Harjutus. Jagage 124,478 100-ga.

100-ga jagamine on sama, mis kahekordne 10-ga jagamine, seega nihutatakse koma 2 koha võrra vasakule:

10, 100, 1000-ga korrutamise ja jagamise reegel

Kui kümnendmurd tuleb korrutada 10, 100, 1000 ja nii edasi, peate nihutama koma paremale nii mitmesse kohta, kui palju on kordajas nulle.

Ja vastupidi, kui kümnendmurd tuleb jagada 10, 100, 1000 ja nii edasi, peate nihutama koma vasakule nii palju kohti, kui palju on kordajas nulle.

Näited, kui peate liigutama koma, kuid numbreid pole enam

100-ga korrutamine tähendab kümnendkoha nihutamist paremale kahe koha võrra.

Pärast nihet võite leida, et pärast koma pole enam ühtegi numbrit, mis tähendab, et murdosa on puudu. Siis pole koma vaja, arv osutus täisarvuks.

Peate liikuma 4 asendit paremale. Kuid pärast koma on ainult kaks numbrit. Tasub meeles pidada, et murru 56,14 jaoks on samaväärne märge.

Nüüd on 10 000-ga korrutamine lihtne:

Kui pole väga selge, miks saab eelmises näites murdule kaks nulli lisada, siis lingil olev lisavideo aitab selles.

Samaväärsed kümnendkohad

Kirje 52 tähendab järgmist:

Kui paneme ette 0, saame rekordi 052. Need rekordid on samaväärsed.

Kas on võimalik kaks nulli ette panna? Jah, need kanded on samaväärsed.

Vaatame nüüd kümnendkohta:

Kui määrame nulli, saame:

Need kanded on samaväärsed. Samamoodi saate määrata mitu nulli.

Seega saab igale arvule omistada mitu nulli pärast murdosa ja mitu nulli enne täisarvu. Need on sama numbriga samaväärsed kirjed.

Kuna toimub 100-ga jagamine, on vaja koma nihutada 2 asendit vasakule. Komakohast vasakul pole ühtegi numbrit. Kogu osa on puudu. Seda tähistust kasutavad sageli programmeerijad. Matemaatikas, kui täisarvu pole, siis pane selle asemele null.

Peate nihutama kolme positsiooni võrra vasakule, kuid positsioone on ainult kaks. Kui kirjutate numbri ette mitu nulli, on see samaväärne märge.

See tähendab, et vasakule nihutamisel, kui numbrid on üle, tuleb need täita nullidega.

Sel juhul tasub meeles pidada, et täisarvu järel tuleb alati koma. Seejärel:

Korrutamine ja jagamine 0,1, 0,01, 0,001

Korrutamine ja jagamine arvudega 10, 100, 1000 on väga lihtne protseduur. Sama lugu on numbritega 0,1, 0,01, 0,001.

Näide. Korrutage 25,34 0,1-ga.

Kirjutame kümnendmurru 0,1 hariliku kujul. Kuid korrutamine on sama, mis 10-ga jagamine. Seetõttu peate nihutama koma 1 positsiooni vasakule:

Samamoodi jagatakse 0,01-ga korrutamine 100-ga:

Näide. 5,235 jagatud 0,1-ga.

Selle näite lahendus on konstrueeritud sarnaselt: 0,1 väljendatakse tavalise murdena ja jagamine on sama, mis korrutamine 10-ga:

See tähendab, et 0,1-ga jagamiseks peate koma ühe koha võrra paremale nihutama, mis võrdub 10-ga korrutamisega.

0,1, 0,01, 0,001-ga korrutamise ja jagamise reegel

10-ga korrutamine ja 0,1-ga jagamine on sama asi. Koma tuleb nihutada 1 asendi võrra paremale.

10-ga jagamine ja 0,1-ga korrutamine on sama asi. Koma tuleb nihutada 1 koha võrra paremale:

Näidete lahendus

Järeldus

Selles tunnis tutvuti 10, 100 ja 1000-ga jagamise ja korrutamise reeglitega. Lisaks käsitleti 0,1, 0,01, 0,001-ga korrutamise ja jagamise reegleid.

Kaaluti näiteid nende reeglite kohaldamise kohta ja otsustati.

Bibliograafia

1. Vilenkin N. Ya. Matemaatika: õpik. 5 raku jaoks. üldine konst. 17. väljaanne – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Ševkin A.V. Sõnaülesanded matemaatikas: 5–6. – M.: Ileksa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Kogu koolimatemaatika iseseisvates ja kontrolltöödes. Matemaatika 5.–6. – M.: Ileksa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Arvutusoskuste kujundamine matemaatikatundides. 5.-9.klassid. – M.: Ileksa, 2011 .

1. Internetiportaal "Pedagoogiliste ideede festival" (Allikas)

2. Interneti-portaal "Matematika-na.ru" (Allikas)

3. Interneti-portaal "School.xvatit.com" (Allikas)

Kodutöö

3. Võrrelge avaldise väärtusi:

Toimingud nulliga

Matemaatikas arv null hõivab erilise koha. Fakt on see, et tegelikult tähendab see "mitte midagi", "tühjust", kuid selle olulisust on tõesti raske üle hinnata. Selleks piisab, kui meeles pidada vähemalt seda, millega täpselt nullmärk ja algab punkti asukoha koordinaatide loendus mis tahes koordinaatsüsteemis.

Null kasutatakse laialdaselt kümnendkohtadena "tühjade" numbrite väärtuste määramiseks nii enne kui ka pärast koma. Lisaks on sellega seotud üks aritmeetika põhireegleid, mis ütleb, et edasi null ei saa jagada. Tema loogika tuleneb tegelikult selle numbri olemusest: tõepoolest on võimatu ette kujutada, et mõni sellest erinev väärtus (ja ka see ise) jagunes "mittemillekski".

FROM null sooritatakse kõik aritmeetilised toimingud ning selle partneritena saab kasutada täisarve, tavalisi ja kümnendmurde ning neil kõigil võib olla nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Toome näiteid nende rakendamisest ja mõned selgitused nende kohta.

Lisamisel null mõnele arvule (nii täis- kui murdarvule, nii positiivsele kui ka negatiivsele), jääb selle väärtus absoluutselt muutumatuks.

kakskümmend neli pluss null võrdub kahekümne neljaga.

Seitseteist punkti kolm kaheksandik pluss null võrdub seitsmeteistkümne punktiga kolm kaheksandikku.

• Maksudeklaratsioonide vormid Juhime teie tähelepanu kõikide maksuliikide ja tasude deklaratsioonivormidele: 1. Tulumaks. Tähelepanu, alates 10.02.2014 esitatakse tulumaksuaruanne vastavalt Tuluministeeriumi 30.12.2013 korraldusega nr 872 kinnitatud uutele deklaratsioonide näidistele.1. 1. Tuludeklaratsioon […]
• Summa ruudustamiseks ja erinevuse ruutuks Eesmärk: Tuletada valemid avaldiste summa ja erinevuse ruudustamiseks. Oodatavad tulemused: õppida kasutama summa ruudu ja vahe ruudu valemeid. Tunni tüüp: probleemi esitlemise tund. I. Tunni teema ja eesmärgi esitlus II. Töötage tunni teemaga Kui korrutate […]
• Mis vahe on alaealiste lastega korteri erastamise ja lasteta erastamise vahel? Osalemise tunnused, dokumendid Kõik kinnisvaratehingud nõuavad osalejatelt hoolikat tähelepanu. Eriti kui plaanite erastada alaealiste lastega korter. Selle kehtivaks tunnistamiseks ja […]
• Alla 14-aastase lapse vanas vormis rahvusvahelise passi riigilõivu suurus ja tasumine Riigiasutuste poole pöördumisega teenuse saamiseks tuleb alati tasuda riigilõiv. Välispassi taotlemiseks peate maksma ka föderaalset tasu. Kui palju on suurus […]
• Kuidas täita taotlusvormi passi asendamiseks 45-st Venemaa passist tuleb välja vahetada vanusepiiri saavutamisel - 20 või 45 aastat. Avaliku teenuse saamiseks tuleb esitada ettenähtud vormis avaldus, lisada vajalikud dokumendid ja tasuda […]
• Kuidas ja kuhu teha annetus korteriosa saamiseks Paljud kodanikud seisavad silmitsi sellise juriidilise protseduuriga nagu kaasomandis oleva kinnisvara kinkimine. Korteriosaku annetuse korrektse vormistamise kohta on üsna palju teavet ja see pole alati usaldusväärne. Enne alustamist […]