Hem · Dröm · Regel för att multiplicera valfritt tal med noll. Dividera med noll. Fascinerande matematik Valfritt tal multiplicerat med 0 är lika med

Regel för att multiplicera valfritt tal med noll. Dividera med noll. Fascinerande matematik Valfritt tal multiplicerat med 0 är lika med

Mycket ofta undrar många människor varför det är omöjligt att använda division med noll? I den här artikeln kommer vi att gå in i detalj om var denna regel kom ifrån, samt vilka åtgärder som kan utföras med noll.

I kontakt med

Noll kan kallas ett av de mest intressanta talen. Detta nummer har ingen betydelse, det betyder tomhet i ordets rätta bemärkelse. Men om du sätter noll bredvid någon siffra, kommer värdet på denna siffra att bli flera gånger större.

Numret är väldigt mystiskt i sig. Det användes av det forntida mayafolket. För Maya betydde noll "början", och nedräkningen av kalenderdagar började också från noll.

Ett mycket intressant faktum är att tecknet på noll och tecknet på osäkerhet var lika för dem. Genom detta ville Maya visa att noll är samma identiska tecken som osäkerhet. I Europa dök beteckningen noll upp relativt nyligen.

Många känner också till förbudet som är förknippat med noll. Vilken person som helst kommer att säga det kan inte delas med noll. Detta sägs av lärare i skolan, och barn brukar ta sitt ord för det. Vanligtvis är barn antingen helt enkelt inte intresserade av att veta detta, eller så vet de vad som kommer att hända om de, när de hör ett viktigt förbud, omedelbart frågar "Varför kan du inte dividera med noll?". Men när man blir äldre vaknar intresset och man vill veta mer om orsakerna till ett sådant förbud. Det finns dock rimliga bevis.

Åtgärder med noll

Först måste du bestämma vilka åtgärder som kan utföras med noll. Existerar flera typer av aktiviteter:

  • Tillägg;
  • Multiplikation;
  • Subtraktion;
  • Division (noll efter nummer);
  • Exponentiering.

Viktig! Om noll läggs till ett tal under addition, kommer detta nummer att förbli detsamma och kommer inte att ändra sitt numeriska värde. Samma sak händer om du subtraherar noll från valfritt tal.

Med multiplikation och division är det lite annorlunda. Om en multiplicera valfritt tal med noll, då blir produkten också noll.

Tänk på ett exempel:

Låt oss skriva detta som ett tillägg:

Det finns fem tillagda nollor totalt, så det visar sig


Låt oss försöka multiplicera en med noll. Resultatet blir också null.

Noll kan också delas med ett annat tal som inte är lika med det. I det här fallet kommer det att visa sig, vars värde också kommer att vara noll. Samma regel gäller för negativa tal. Om du dividerar noll med ett negativt tal får du noll.

Du kan också höja valfritt antal till noll effekt. I det här fallet får du 1. Det är viktigt att komma ihåg att uttrycket "noll till nollstyrkan" är absolut meningslöst. Om du försöker höja noll till valfri styrka får du noll. Exempel:

Vi använder multiplikationsregeln, vi får 0.

Är det möjligt att dividera med noll

Så här kommer vi till huvudfrågan. Är det möjligt att dividera med noll rent generellt? Och varför är det omöjligt att dividera ett tal med noll, med tanke på att alla andra operationer med noll existerar fullt ut och gäller? För att svara på denna fråga måste du vända dig till högre matematik.

Låt oss börja med definitionen av begreppet, vad är noll? Skollärare hävdar att noll är ingenting. Tomhet. Det vill säga när du säger att du har 0 pennor betyder det att du inte har några pennor alls.

I högre matematik är begreppet "noll" bredare. Det betyder inte alls tomt. Här kallas noll för osäkerhet, för om man forskar lite så visar det sig att genom att dividera noll med noll kan vi få vilket annat tal som helst som ett resultat, som kanske inte nödvändigtvis är noll.

Vet du att de enkla räkneoperationerna som du studerade i skolan inte är så jämställda sinsemellan? De mest grundläggande stegen är addition och multiplikation.

För matematiker existerar inte begreppen "" och "subtraktion". Antag: om tre subtraheras från fem, så kommer två att finnas kvar. Så här ser subtraktion ut. Men matematiker skulle skriva det så här:

Således visar det sig att den okända skillnaden är ett visst tal som måste läggas till 3 för att få 5. Det vill säga, du behöver inte subtrahera något, du behöver bara hitta ett lämpligt tal. Denna regel gäller för tillägg.

Saker och ting är lite annorlunda med multiplikation och division regler. Det är känt att multiplikation med noll leder till nollresultat. Till exempel, om 3:0=x, om du vänder posten, får du 3*x=0. Och talet som multipliceras med 0 ger noll i produkten. Det visar sig att ett tal som skulle ge något annat värde än noll i produkten med noll inte existerar. Det betyder att division med noll är meningslöst, det vill säga det passar vår regel.

Men vad händer om du försöker dividera noll med sig själv? Låt oss ta x som ett obestämt tal. Det visar sig att ekvationen är 0 * x \u003d 0. Det går att lösa.

Om vi ​​försöker ta noll istället för x får vi 0:0=0. Det verkar logiskt? Men om vi försöker ta något annat tal istället för x, till exempel 1, så får vi 0:0=1. Samma situation blir om du tar något annat nummer och koppla in den i ekvationen.

I det här fallet visar det sig att vi kan ta vilken annan siffra som helst som en faktor. Resultatet blir ett oändligt antal olika siffror. Ibland är det ändå meningsfullt att dividera med 0 i högre matematik, men då brukar det finnas ett visst villkor som gör att vi fortfarande kan välja ett lämpligt tal. Denna åtgärd kallas "osäkerhetsupplysning". I vanlig aritmetik kommer division med noll åter att förlora sin betydelse, eftersom vi inte kommer att kunna välja ett tal från mängden.

Viktig! Noll kan inte delas med noll.

Noll och oändlighet

Oändlighet är mycket vanligt inom högre matematik. Eftersom det helt enkelt inte är viktigt för skolbarn att veta att det fortfarande finns matematiska operationer med oändlighet, kan lärare inte riktigt förklara för barn varför det är omöjligt att dividera med noll.

Elever börjar lära sig de grundläggande matematiska hemligheterna först under det första året av institutet. Högre matematik ger en stor uppsättning problem som inte har någon lösning. De mest kända problemen är problemen med oändligheten. De kan lösas med matematisk analys.

Du kan också ansöka till infinity elementära matematiska operationer: addition, multiplikation med ett tal. Subtraktion och division är också vanligt förekommande, men i slutändan kommer de ändå ner till två enkla operationer.

Men vad kommer om du försöker:

  • Multiplicera oändligheten med noll. I teorin, om vi försöker multiplicera ett tal med noll, får vi noll. Men oändligheten är en obestämd uppsättning siffror. Eftersom vi inte kan välja ett tal från denna mängd, har uttrycket ∞*0 ingen lösning och är absolut meningslöst.
  • Noll dividerat med oändlighet. Det här är samma historia som ovan. Vi kan inte välja ett tal, vilket betyder att vi inte vet vad vi ska dividera med. Uttrycket är inte vettigt.

Viktig! Oändlighet är lite annorlunda än osäkerhet! Oändlighet är en typ av osäkerhet.

Låt oss nu försöka dividera oändligheten med noll. Det verkar som att det borde råda osäkerhet. Men om vi försöker ersätta division med multiplikation får vi ett mycket bestämt svar.

Till exempel: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Det blir så här matematisk paradox.

Varför man inte kan dividera med noll

Tankeexperiment, försök dividera med noll

Slutsats

Så nu vet vi att noll är föremål för nästan alla operationer som utförs med, förutom en enda. Du kan inte dividera med noll bara för att resultatet är osäkerhet. Vi lärde oss också hur man opererar på noll och oändlighet. Resultatet av sådana handlingar blir osäkerhet.

Noll i sig är ett mycket intressant nummer. I sig betyder det tomhet, frånvaron av mening, och bredvid ett annat nummer ökar dess betydelse med 10 gånger. Alla siffror till nollgraden ger alltid 1. Detta tecken användes redan i Mayacivilisationen, och de betecknade också begreppet "början, förnuftet". Även kalendern började från dag noll. Och denna siffra är förknippad med ett strikt förbud.

Ända sedan grundskoleåren har vi alla tydligt lärt oss regeln "du kan inte dividera med noll". Men om du i barndomen tar mycket på dig tro och en vuxens ord sällan orsakar tvivel, så vill du med tiden fortfarande förstå orsakerna, för att förstå varför vissa regler fastställdes.

Varför kan du inte dividera med noll? Jag skulle vilja få en tydlig logisk förklaring till denna fråga. I första klass kunde inte lärare göra detta, för i matematik förklaras reglerna med hjälp av ekvationer, och i den åldern hade vi ingen aning om vad det var. Och nu är det dags att lista ut det och få en tydlig logisk förklaring till varför man inte kan dividera med noll.

Faktum är att i matematik bara två av de fyra grundläggande operationerna (+, -, x, /) med tal erkänns som oberoende: multiplikation och addition. Resten av verksamheten anses vara derivat. Låt oss överväga ett enkelt exempel.

Säg mig, hur mycket blir det om 18 subtraheras från 20? Naturligtvis uppstår svaret omedelbart i vårt huvud: det kommer att bli 2. Och hur kom vi till ett sådant resultat? För vissa kommer denna fråga att verka konstigt - trots allt är allt klart att det kommer att bli 2, någon kommer att förklara att han tog 18 från 20 kopek och han fick två kopek. Logiskt sett är alla dessa svar inte i tvivel, men ur matematikens synvinkel bör detta problem lösas annorlunda. Låt oss återigen komma ihåg att huvudoperationerna i matematik är multiplikation och addition, och därför ligger svaret i vårt fall i att lösa följande ekvation: x + 18 = 20. Av vilken det följer att x = 20 - 18, x = 2 . Det verkar, varför måla allt så detaljerat? När allt kommer omkring är allt så enkelt. Men utan detta är det svårt att förklara varför det är omöjligt att dividera med noll.

Låt oss nu se vad som händer om vi vill dividera 18 med noll. Låt oss göra ekvationen igen: 18: 0 = x. Eftersom divisionsoperationen är en derivata av multiplikationsproceduren, får vi genom att transformera vår ekvation x * 0 = 18. Det är här återvändsgränden börjar. Valfritt tal i stället för x när det multipliceras med noll ger 0 och vi kommer inte att lyckas få 18. Nu blir det extremt tydligt varför man inte kan dividera med noll. Noll i sig kan delas med valfritt tal, men vice versa - tyvärr är det omöjligt.

Vad händer när noll delas med sig själv? Detta kan skrivas på följande sätt: 0: 0 = x, eller x * 0 = 0. Denna ekvation har ett oändligt antal lösningar. Så slutresultatet är oändligt. Därför är operationen i detta fall inte heller meningsfull.

Att dividera med 0 är grunden till många imaginära matematiska skämt, som, om så önskas, kan förbrylla vilken okunnig person som helst. Tänk till exempel på ekvationen: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35. Vi tar 4 från parentes på vänster sida och 7 till höger. Vi får: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (x - 5). Nu multiplicerar vi vänster och höger sida av ekvationen med bråket 1 / (x - 5). Ekvationen kommer att ha följande form: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5). Vi minskar bråken med (x - 5) och vi får att 4 \u003d 7. Av detta kan vi dra slutsatsen att 2 * 2 \u003d 7! Naturligtvis är haken här att det är lika med 5 och det var omöjligt att reducera bråk, eftersom detta ledde till division med noll. När du reducerar bråk måste du därför alltid kontrollera att noll inte av misstag hamnar i nämnaren, annars kommer resultatet att visa sig vara helt oförutsägbart.

Till och med i skolan försökte lärare sätta in den enklaste regeln i våra huvuden: "Varje tal multiplicerat med noll är lika med noll!", - men ändå finns det mycket kontroverser kring honom. Någon har precis memorerat regeln och bryr sig inte om frågan "varför?". "Du kan inte göra allt här, för i skolan sa de så, regeln är regeln!" Någon kan fylla en halv anteckningsbok med formler, bevisa denna regel eller omvänt dess ologiska.

I kontakt med

Vem har rätt i slutändan

Under dessa tvister ser båda människorna, med motsatta åsikter, på varandra som en bagge och bevisar med all sin kraft att de har rätt. Även om du tittar på dem från sidan kan du se inte en, utan två baggar som vilar mot varandra med sina horn. Den enda skillnaden mellan dem är att den ena är något mindre utbildad än den andra.

Oftast försöker de som anser att denna regel är felaktig att efterlysa logik på detta sätt:

Jag har två äpplen på mitt bord, om jag lägger noll äpplen på dem, det vill säga jag lägger inte ett enda, så försvinner inte mina två äpplen från detta! Regeln är ologisk!

Äpplen kommer faktiskt inte att försvinna någonstans, men inte för att regeln är ologisk, utan för att en något annorlunda ekvation används här: 2 + 0 \u003d 2. Så vi kommer omedelbart att förkasta en sådan slutsats - den är ologisk, även om den har motsatt mål - att kalla till logik.

Vad är multiplikation

Den ursprungliga multiplikationsregeln definierades endast för naturliga tal: multiplikation är ett tal som läggs till sig självt ett visst antal gånger, vilket antyder talets naturlighet. Således kan vilket tal som helst med multiplikation reduceras till denna ekvation:

  1. 25x3=75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25x3 = 25 + 25 + 25

Från denna ekvation följer slutsatsen, att multiplikation är en förenklad addition.

Vad är noll

Varje person vet från barndomen: noll är tomhet. Trots att denna tomhet har en beteckning bär den ingenting alls. De gamla österländska forskarna tänkte annorlunda - de närmade sig frågan filosofiskt och drog några paralleller mellan tomhet och oändlighet och såg en djup mening i detta nummer. När allt kommer omkring, noll, som har värdet av tomhet, som står bredvid ett naturligt tal, multiplicerar det tio gånger. Därav all kontrovers om multiplikation - detta tal har så mycket inkonsekvens att det blir svårt att inte bli förvirrad. Dessutom används ständigt noll för att bestämma tomma siffror i decimalbråk, detta görs både före och efter decimalkomma.

Är det möjligt att multiplicera med tomhet

Det är möjligt att multiplicera med noll, men det är värdelöst, för vad man än kan säga, men även när man multiplicerar negativa tal, kommer noll fortfarande att erhållas. Det räcker med att komma ihåg denna enklaste regel och aldrig ställa den här frågan igen. Faktum är att allt är enklare än det verkar vid första anblicken. Det finns inga dolda betydelser och hemligheter, som forntida vetenskapsmän trodde. Den mest logiska förklaringen kommer att ges nedan att denna multiplikation är värdelös, för när man multiplicerar ett tal med det kommer samma sak fortfarande att erhållas - noll.

Om vi ​​går tillbaka till början, så ser argumentet om två äpplen, 2 gånger 0 ut så här:

  • Om du äter två äpplen fem gånger, då äts 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 äpplen
  • Om du äter två av dem tre gånger, då äts 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 äpplen
  • Om du äter två äpplen noll gånger, kommer ingenting att ätas - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

Att äta ett äpple 0 gånger betyder trots allt att man inte äter ett enda. Detta kommer att vara tydligt även för det minsta barnet. Gilla det eller inte, 0 kommer ut, två eller tre kan ersättas med absolut vilket nummer som helst och absolut samma sak kommer ut. Och för att uttrycka det enkelt, noll är ingenting och när du har det finns inget, sedan hur mycket du än multiplicerar - det är likadant kommer att vara noll. Det finns ingen magi, och ingenting kommer att göra ett äpple, även om du multiplicerar 0 med en miljon. Detta är den enklaste, mest förståeliga och logiska förklaringen av regeln om multiplikation med noll. För en person som är långt ifrån alla formler och matematik kommer en sådan förklaring att räcka för att dissonansen i huvudet ska lösa sig och allt ska falla på plats.

Division

Från allt ovan följer en annan viktig regel:

Du kan inte dividera med noll!

Även denna regel har envist hamrats in i våra huvuden sedan barndomen. Vi vet bara att det är omöjligt och det är det, utan att stoppa våra huvuden med onödig information. Om du plötsligt får frågan, av vilken anledning är det förbjudet att dividera med noll, då kommer majoriteten att bli förvirrad och inte tydligt kunna svara på den enklaste frågan från skolans läroplan, eftersom det inte finns så många tvister och motsägelser kring denna regel.

Alla memorerade bara regeln och delar inte med noll, utan att misstänka att svaret ligger på ytan. Addition, multiplikation, division och subtraktion är ojämlika, endast multiplikation och addition är fulla av ovanstående, och alla andra manipulationer med siffror är byggda från dem. Det vill säga att posten 10: 2 är en förkortning av ekvationen 2 * x = 10. Därför är posten 10: 0 samma förkortning för 0 * x = 10. Det visar sig att division med noll är en uppgift att hitta ett tal, multiplicera med 0, får du 10 Och vi har redan räknat ut att ett sådant tal inte existerar, vilket betyder att denna ekvation inte har någon lösning, och att den a priori är felaktig.

Låt mig berätta för dig

Att inte dividera med 0!

Klipp 1 som du vill, tillsammans,

Dela bara inte med 0!

Evgeny Shiryaev, föreläsare och chef för laboratoriet för matematik vid Polytechnic Museum, berättade för AiF.ru om division med noll:

1. Frågans jurisdiktion

Håller med, förbudet ger en speciell provokativitet åt regeln. Hur är det omöjligt? Vem förbjöd? Men hur är det med våra medborgerliga rättigheter?

Varken Ryska federationens grundlag, strafflagen eller ens stadgan för din skola motsätter sig den intellektuella handling som intresserar oss. Det betyder att förbudet inte har någon juridisk kraft, och ingenting hindrar just här, på sidorna av AiF.ru, att försöka dividera något med noll. Till exempel tusen.

2. Dela som lärt

Kom ihåg att när du först lärde dig att dividera, löstes de första exemplen genom att kontrollera genom multiplikation: resultatet multiplicerat med divisorn måste matcha det delbara. Stämde inte - bestämde inte.

Exempel 1 1000: 0 =...

Låt oss glömma den förbjudna regeln för en minut och göra flera försök att gissa svaret.

Felaktig kommer att avbryta kontrollen. Iterera över alternativen: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. För var och en av dem kommer testet att ge samma resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Noll genom multiplikation förvandlar allt till sig självt och aldrig till tusen. Slutsatsen är lätt att formulera: inget nummer kommer att klara testet. Det vill säga, inget tal kan vara resultatet av att dividera ett tal som inte är noll med noll. En sådan uppdelning är inte förbjuden, utan har helt enkelt inget resultat.

3. Nyans

Missade nästan ett tillfälle att motbevisa förbudet. Ja, vi inser att ett tal som inte är noll inte kommer att vara delbart med 0. Men det kanske 0 själv kan?

Exempel 2 0: 0 = ...

Dina förslag på privata? 100? Snälla: kvoten 100 multiplicerad med divisorn 0 är lika med den delbara av 0.

Fler alternativ! ett? Passar också. Och -23, och 17, och allt-allt-alla. I det här exemplet kommer resultatkontrollen att vara positiv för alla tal. Och för att vara ärlig bör lösningen i det här exemplet inte kallas ett nummer, utan en uppsättning siffror. Alla. Och det kommer inte att ta lång tid att komma överens om att Alice inte är Alice, utan Mary Ann, och båda är en kanins dröm.

4. Hur är det med högre matematik?

Problemet är löst, nyanserna beaktas, prickarna är placerade, allt är klart - inget nummer kan vara svaret för exemplet med division med noll. Att lösa sådana problem är hopplöst och omöjligt. Så intressant! Dubbla två.

Exempel 3 Ta reda på hur man dividerar 1000 med 0.

Men inget sätt. Men 1000 kan enkelt delas med andra tal. Nåväl, låt oss åtminstone göra det som fungerar, även om vi ändrar uppgiften. Och där, ser du, kommer vi att ryckas med, och svaret kommer att dyka upp av sig självt. Glöm noll i en minut och dividera med hundra:

Hundra är långt ifrån noll. Låt oss ta ett steg mot det genom att minska divisorn:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Uppenbar dynamik: ju närmare divisorn är noll, desto större kvot. Trenden kan observeras ytterligare, gå till bråk och fortsätta att minska täljaren:

Det återstår att notera att vi kan närma oss noll så nära vi vill, vilket gör kvoten godtyckligt stor.

Det finns ingen noll i denna process och ingen sista kvot. Vi indikerade rörelsen mot dem genom att ersätta numret med en sekvens som konvergerar till numret av intresse för oss:

Detta innebär en liknande ersättning för utdelningen:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Pilarna är dubbelsidiga av en anledning: vissa sekvenser kan konvergera till siffror. Sedan kan vi associera en sekvens med dess numeriska gräns.

Låt oss titta på sekvensen av kvoter:

Den växer i det oändliga, strävar efter inget antal och överträffar någon. Matematiker lägger till symboler till siffror ∞ för att kunna sätta en dubbelsidig pil bredvid en sådan sekvens:

Genom att jämföra antalet sekvenser med en gräns kan vi föreslå en lösning på det tredje exemplet:

Om vi ​​dividerar en sekvens som konvergerar till 1000 elementvis med en sekvens av positiva tal som konvergerar till 0, får vi en sekvens som konvergerar till ∞.

5. Och här är nyansen med två nollor

Vad blir resultatet av att dividera två sekvenser av positiva tal som konvergerar till noll? Om de är samma, då den identiska enheten. Om en sekvens-utdelning konvergerar till noll snabbare, då i en viss sekvens med en nollgräns. Och när elementen i divisorn minskar mycket snabbare än utdelningen, kommer kvotföljden att växa kraftigt:

Osäker situation. Och så kallas det: formens osäkerhet 0/0 . När matematiker ser sekvenser som faller under sådan osäkerhet, skyndar de sig inte att dela två identiska tal med varandra, utan räkna ut vilken av sekvenserna som går snabbare till noll och hur. Och varje exempel kommer att ha sitt eget specifika svar!

6. I livet

Ohms lag relaterar ström, spänning och resistans i en krets. Det skrivs ofta i denna form:

Låt oss försumma korrekt fysisk förståelse och formellt se på höger sida som en kvot av två tal. Föreställ dig att vi löser ett skolproblem på el. Tillståndet ges spänning i volt och resistans i ohm. Frågan är uppenbar, beslutet i en handling.

Låt oss nu titta på definitionen av supraledning: detta är egenskapen hos vissa metaller att ha noll elektriskt motstånd.

Nåväl, låt oss lösa problemet för en supraledande krets? Säg det bara så R= 0 inte fungerar, slänger fysiken upp ett intressant problem, bakom vilket det uppenbarligen finns en vetenskaplig upptäckt. Och de personer som lyckades dela med noll i det här läget fick Nobelpriset. Det är nyttigt att kunna kringgå eventuella förbud!

Talet 0 kan representeras som en sorts gräns som skiljer världen av reella tal från imaginära eller negativa. På grund av den tvetydiga positionen följer många operationer med detta numeriska värde inte matematisk logik. Oförmågan att dividera med noll är ett utmärkt exempel på detta. Och tillåtna aritmetiska operationer med noll kan utföras med allmänt accepterade definitioner.

Nolls historia

Noll är referenspunkten i alla standardtalsystem. Européer började använda detta nummer relativt nyligen, men de vise i det forntida Indien använde noll i tusen år innan det tomma numret regelbundet användes av europeiska matematiker. Redan före indianerna var noll ett obligatoriskt värde i Mayas numeriska system. Detta amerikanska folk använde duodecimalsystemet, och de började den första dagen i varje månad med en nolla. Intressant nog, bland Maya, sammanföll tecknet för "noll" helt med tecknet för "oändlighet". Således drog den forntida Maya slutsatsen att dessa kvantiteter var identiska och okända.

Matematiska operationer med noll

Matematiska standardoperationer med noll kan reduceras till några få regler.

Addition: om du lägger till noll till ett godtyckligt tal kommer det inte att ändra sitt värde (0+x=x).

Subtraktion: när du subtraherar noll från valfritt tal, förblir värdet på den subtraherade oförändrade (x-0=x).

Multiplikation: valfritt tal multiplicerat med 0 ger 0 i produkten (a*0=0).

Division: Noll kan delas med valfritt tal som inte är noll. I det här fallet kommer värdet på en sådan bråkdel att vara 0. Och division med noll är förbjuden.

Exponentiering. Denna åtgärd kan utföras med vilket nummer som helst. Ett godtyckligt tal upphöjt till noll ger 1 (x 0 =1).

Noll till valfri potens är lika med 0 (0 a \u003d 0).

I det här fallet uppstår en motsägelse omedelbart: uttrycket 0 0 är inte vettigt.

Matematikens paradoxer

Att division med noll är omöjligt vet många från skolan. Men av någon anledning går det inte att förklara orsaken till ett sådant förbud. Ja, varför existerar inte formeln för division med noll, men andra åtgärder med detta nummer är ganska rimliga och möjliga? Svaret på denna fråga ges av matematiker.

Saken är den att de vanliga räkneoperationerna som skolbarn läser i lågstadiet faktiskt är långt ifrån så likvärdiga som vi tror. Alla enkla operationer med tal kan reduceras till två: addition och multiplikation. Dessa operationer är kärnan i själva begreppet ett nummer, och resten av operationerna är baserade på användningen av dessa två.

Addition och multiplikation

Låt oss ta ett standardsubtraktionsexempel: 10-2=8. I skolan betraktas det helt enkelt: om två tas bort från tio föremål återstår åtta. Men matematiker ser på denna operation helt annorlunda. Det finns trots allt ingen sådan operation som subtraktion för dem. Detta exempel kan skrivas på ett annat sätt: x+2=10. För matematiker är den okända skillnaden helt enkelt talet som måste läggas till två för att bli åtta. Och ingen subtraktion krävs här, du behöver bara hitta ett lämpligt numeriskt värde.

Multiplikation och division behandlas på samma sätt. I exemplet 12:4=3 kan man förstå att vi talar om uppdelningen av åtta föremål i två lika högar. Men i verkligheten är detta bara en inverterad formel för att skriva 3x4 \u003d 12. Sådana exempel för division kan ges i det oändliga.

Exempel på att dividera med 0

Det är här det blir lite tydligt varför det är omöjligt att dividera med noll. Multiplikation och division med noll har sina egna regler. Alla exempel per division av denna kvantitet kan formuleras som 6:0=x. Men detta är ett inverterat uttryck av uttrycket 6 * x = 0. Men, som ni vet, ger vilket tal som helst multiplicerat med 0 endast 0 i produkten. Denna egenskap är inneboende i själva konceptet med ett nollvärde.

Det visar sig att ett sådant tal, som, när det multipliceras med 0, ger något påtagligt värde, inte existerar, det vill säga detta problem har ingen lösning. Man ska inte vara rädd för ett sådant svar, det är ett naturligt svar för problem av den här typen. Att bara skriva 6:0 är ingen mening, och det kan inte förklara någonting. Kort sagt kan detta uttryck förklaras av det odödliga "ingen division med noll".

Finns det en 0:0 operation? Ja, om operationen att multiplicera med 0 är laglig, kan noll delas med noll? När allt kommer omkring är en ekvation av formen 0x5=0 ganska laglig. Istället för siffran 5 kan du sätta 0, produkten kommer inte att ändras från detta.

Faktum är att 0x0=0. Men du kan fortfarande inte dividera med 0. Som nämnts är division bara inversen av multiplikation. Således, om du i exemplet 0x5=0 måste bestämma den andra faktorn, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller oändlighet. Att dividera oändligheten med noll – hur gillar du det?

Men om något tal passar in i uttrycket så är det inte vettigt, vi kan inte välja ett från en oändlig uppsättning tal. Och i så fall betyder det att uttrycket 0:0 inte är vettigt. Det visar sig att även noll i sig inte kan delas med noll.

högre matematik

Division med noll är en huvudvärk för matematik på gymnasiet. Matematisk analys som studerats vid tekniska universitet utvidgar något begreppet problem som inte har någon lösning. Till det redan kända uttrycket 0:0 läggs till exempel nya till som inte har någon lösning i skolans matematikkurser:

  • oändlighet dividerat med oändlighet: ?:?;
  • oändlighet minus oändlighet: ???;
  • enhet upphöjd till en oändlig potens: 1? ;
  • oändlighet multiplicerat med 0: ?*0;
  • några andra.

Det är omöjligt att lösa sådana uttryck med elementära metoder. Men högre matematik, tack vare ytterligare möjligheter till ett antal liknande exempel, ger slutgiltiga lösningar. Detta är särskilt tydligt i övervägandet av problem från teorin om gränser.

Osäkerhetsupplysning

I teorin om gränser ersätts värdet 0 med en villkorad infinitesimal variabel. Och uttryck där division med noll erhålls när man ersätter det önskade värdet konverteras. Nedan är ett standardexempel på gränsexpansion med de vanliga algebraiska transformationerna:

Som du kan se i exemplet ger en enkel reduktion av en bråkdel dess värde till ett helt rationellt svar.

När man överväger gränserna för trigonometriska funktioner tenderar deras uttryck att reduceras till den första anmärkningsvärda gränsen. När man överväger gränserna där nämnaren går till 0 när gränsen ersätts, används den andra anmärkningsvärda gränsen.

L'Hopitals metod

I vissa fall kan gränserna för uttryck ersättas med gränsen för deras derivator. Guillaume Lopital är en fransk matematiker, grundaren av den franska skolan för matematisk analys. Han bevisade att gränserna för uttryck är lika med gränserna för derivaten av dessa uttryck. I matematisk notation är hans regel som följer.

För närvarande används L'Hopital-metoden framgångsrikt för att lösa osäkerheter av typen 0:0 eller ?:?.

Hur man dividerar och multiplicerar med 0,1; 0,01; 0,001 osv?

Skriv reglerna för division och multiplikation.

För att multiplicera ett tal med 0,1 behöver du bara flytta kommatecken.

Det var till exempel 56 , blev 5,6 .

För att dividera med samma tal måste du flytta kommatecken i motsatt riktning:

Det var till exempel 56 , blev 560 .

Med siffran 0,01 är allt sig likt, men du måste överföra det till 2 tecken, och inte till ett.

I allmänhet, hur många nollor, så mycket och överföring.

Det finns till exempel ett nummer 123456789.

Du måste multiplicera det med 0,000000001

Det finns nio nollor i talet 0,000000001 (vi räknar även nollan till vänster om decimalkomma), vilket innebär att vi flyttar talet 123456789 med 9 siffror:

Det var 123456789 blev 0,123456789.

För att inte multiplicera, utan för att dividera med samma tal, flyttar vi till andra sidan:

Det var 123456789 blev 123456789000000000.

För att flytta ett heltal som detta tillskriver vi helt enkelt en nolla till det. Och i bråktalet flyttar vi kommatecken.

Att dividera ett tal med 0,1 motsvarar att multiplicera det talet med 10

Att dividera ett tal med 0,01 motsvarar att multiplicera det talet med 100

Att dividera med 0,001 är att multiplicera med 1000.

För att göra det lättare att komma ihåg läser vi talet med vilket vi måste dividera från höger till vänster, ignorerar kommatecken och multiplicerar med det resulterande talet.

Exempel: 50: 0,0001. Det är som att multiplicera 50 med (läs från höger till vänster utan komma - 10000) 10000. Det blir 500000.

Samma sak med multiplikation, bara omvänt:

400 x 0,01 är samma sak som att dividera 400 med (läs från höger till vänster utan komma - 100) 100: 400: 100 = 4.

Den som tycker det är bekvämare att överföra kommatecken till höger när man dividerar och till vänster när man multiplicerar när man multiplicerar och dividerar med sådana tal kan göra det.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Decimal division

jag. För att dividera ett tal med en decimal måste du flytta kommatecken i utdelningen och divisorn lika många siffror åt höger som de är efter decimalkomma i divisorn, och sedan dividera med ett naturligt tal.

främstary.

Utför division: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Lösning.

Exempel 1) 16,38: 0,7.

I avdelaren 0,7 det finns en siffra efter decimalkomma, därför flyttar vi kommatecken i utdelningen och divisor en siffra till höger.

Då måste vi dela 163,8 på 7 .

Utför division enligt regeln att dividera ett decimalbråk med ett naturligt tal.

Vi delar när vi delar naturliga tal. Hur man tar ner numret 8 - den första siffran efter decimaltecknet (dvs. siffran på tionde plats), alltså omedelbart sätt ett privat kommatecken och fortsätt dela.

Svar: 23.4.

Exempel 2) 15,6: 0,15.

Flytta kommatecken i utdelning ( 15,6 ) och divisor ( 0,15 ) två siffror till höger, eftersom i divisor 0,15 det finns två siffror efter decimalkomma.

Kom ihåg att så många nollor som du vill kan tilldelas decimalbråket till höger, och decimalbråket kommer inte att ändras från detta.

15,6:0,15=1560:15.

Utför division av naturliga tal.

Svar: 104.

Exempel 3) 3,114: 4,5.

Flytta kommatecken i utdelningen och divisorn en siffra till höger och dividera 31,14 på 45 enligt regeln att dividera ett decimalbråk med ett naturligt tal.

3,114:4,5=31,14:45.

Privat, sätt ett kommatecken så fort vi river figuren 1 på tionde plats. Sedan fortsätter vi uppdelningen.

För att slutföra uppdelningen var vi tvungna att tilldela noll- till numret 9 - skillnad i antal 414 och 405 . (vi vet att nollor kan tilldelas decimalbråket till höger)

Svar: 0,692.

Exempel 4) 53,84: 0,1.

Vi överför kommatecken i utdelningen och divisorn med 1 nummer till höger.

Vi får: 538,4:1=538,4.

Låt oss analysera jämställdheten: 53,84:0,1=538,4. Vi uppmärksammar kommatecken i utdelningen i detta exempel och kommatecken i den resulterande kvoten. Observera att kommatecken i utdelningen har flyttats till 1 siffran till höger, som om vi multiplicerade 53,84 på 10. (Se videon "Multiplicera en decimal med 10, 100, 1000, etc.") Därav regeln för att dividera en decimal med 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Att dividera en decimal med 0,1; 0,01; 0,001, etc., måste du flytta kommatecken åt höger med 1, 2, 3, etc. siffror. (Att dividera en decimal med 0,1; 0,01; 0,001, etc. är detsamma som att multiplicera den decimalen med 10, 100, 1000, etc.)

Exempel.

Utför division: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Lösning.

Exempel 1) 617,35: 0,1.

Enligt regeln II uppdelning i 0,1 motsvarar att multiplicera med 10 , och flytta kommatecken i utdelningen 1 siffra till höger:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exempel 2) 0,235: 0,01.

Division efter 0,01 motsvarar att multiplicera med 100 , vilket innebär att vi kommer att överföra kommatecken i utdelningen på 2 siffror till höger:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exempel 3) 2,7845: 0,001.

Därför att uppdelning i 0,001 motsvarar att multiplicera med 1000 , flytta sedan kommatecken 3 siffror till höger:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exempel 4) 26,397: 0,0001.

Dela decimal med 0,0001 är detsamma som att multiplicera det med 10000 (flytta ett kommatecken med 4 siffror höger). Vi får:

www.mathematics-repetition.com

Multiplikation och division med tal som 10, 100, 0,1, 0,01

Denna videohandledning är tillgänglig med prenumeration

Har du redan ett abonnemang? Att komma in

I den här lektionen kommer vi att titta på hur man utför multiplikation och division med tal som 10, 100, 0,1, 0,001. Olika exempel på detta ämne kommer också att lösas.

Multiplicera siffror med 10, 100

En övning. Hur multiplicerar man talet 25,78 med 10?

Decimalnotationen för ett givet tal är en förkortad notation för summan. Du måste beskriva det mer detaljerat:

Därför måste du multiplicera mängden. För att göra detta kan du helt enkelt multiplicera varje term:

Det visar sig att.

Vi kan dra slutsatsen att det är väldigt enkelt att multiplicera en decimal med 10: du måste flytta kommatecken åt höger med en position.

En övning. Multiplicera 25,486 med 100.

Att multiplicera med 100 är detsamma som att multiplicera två gånger med 10. Med andra ord måste du flytta kommatecken åt höger två gånger:

Division av siffror med 10, 100

En övning. Dela 25,78 med 10.

Som i föregående fall är det nödvändigt att representera talet 25,78 som en summa:

Eftersom du måste dividera summan motsvarar detta att dividera varje term:

Det visar sig att för att dividera med 10 måste du flytta kommatecken åt vänster med en position. Till exempel:

En övning. Dela 124.478 med 100.

Att dividera med 100 är detsamma som att dividera med 10 två gånger, så kommatecken flyttas åt vänster med 2 platser:

Regel för multiplikation och division med 10, 100, 1000

Om ett decimaltal måste multipliceras med 10, 100, 1000, och så vidare, måste du flytta kommatecken åt höger så många positioner som det finns nollor i multiplikatorn.

Och vice versa, om decimalbråket måste delas med 10, 100, 1000, och så vidare, måste du flytta kommatecken åt vänster så många positioner som det finns nollor i multiplikatorn.

Exempel när du behöver flytta ett kommatecken, men det finns inga fler siffror

Att multiplicera med 100 innebär att decimaltecknet flyttas åt höger med två ställen.

Efter skiftet kan du upptäcka att det inte finns några fler siffror efter decimalkomma, vilket betyder att bråkdelen saknas. Då behövs inte kommatecken, talet visade sig vara ett heltal.

Du måste flytta 4 positioner åt höger. Men det finns bara två siffror efter decimalkomma. Det är värt att komma ihåg att det finns en motsvarande notation för bråket 56,14.

Nu är det enkelt att multiplicera med 10 000:

Om det inte är särskilt tydligt varför du kan lägga till två nollor till bråket i föregående exempel, så kan den extra videon på länken hjälpa till med detta.

Motsvarande decimaler

Post 52 betyder följande:

Om vi ​​sätter 0 framför får vi rekord 052. Dessa poster är likvärdiga.

Går det att sätta två nollor framför? Ja, dessa poster är likvärdiga.

Låt oss nu titta på decimalen:

Om vi ​​tilldelar noll får vi:

Dessa poster är likvärdiga. På samma sätt kan du tilldela flera nollor.

Således kan vilket tal som helst tilldelas flera nollor efter bråkdelen och flera nollor före heltalsdelen. Dessa kommer att vara likvärdiga poster med samma nummer.

Eftersom division med 100 inträffar är det nödvändigt att flytta kommatecken 2-positionerna åt vänster. Det finns inga siffror till vänster om decimalkomma. Hela delen saknas. Denna notation används ofta av programmerare. I matematik, om det inte finns någon heltalsdel, sätt noll istället för den.

Du måste flytta åt vänster med tre positioner, men det finns bara två positioner. Om du skriver flera nollor före siffran blir detta en ekvivalent notation.

Det vill säga, när du flyttar till vänster, om siffrorna är över, måste du fylla dem med nollor.

I det här fallet är det värt att komma ihåg att ett komma alltid kommer efter heltalsdelen. Sedan:

Multiplikation och division med 0,1, 0,01, 0,001

Multiplikation och division med siffrorna 10, 100, 1000 är en mycket enkel procedur. Detsamma gäller med siffrorna 0,1, 0,01, 0,001.

Exempel. Multiplicera 25,34 med 0,1.

Låt oss skriva decimalbråket 0,1 i form av en vanlig. Men att multiplicera med är detsamma som att dividera med 10. Därför måste du flytta kommatecken 1-positionen till vänster:

På samma sätt, att multiplicera med 0,01 är att dividera med 100:

Exempel. 5,235 dividerat med 0,1.

Lösningen till detta exempel är konstruerad på ett liknande sätt: 0,1 uttrycks som ett vanligt bråktal, och att dividera med är detsamma som att multiplicera med 10:

Det vill säga, för att dividera med 0,1 måste du flytta kommatecken åt höger med en position, vilket motsvarar att multiplicera med 10.

Regel för att multiplicera och dividera med 0,1, 0,01, 0,001

Att multiplicera med 10 och dividera med 0,1 är samma sak. Kommat måste flyttas åt höger med 1 position.

Dividera med 10 och multiplicera med 0,1 är samma sak. Kommat måste flyttas åt höger med 1 position:

Lösning av exempel

Slutsats

I den här lektionen studerades reglerna för att dividera och multiplicera med 10, 100 och 1000. Dessutom övervägdes reglerna för att multiplicera och dividera med 0,1, 0,01, 0,001.

Exempel på tillämpningen av dessa regler övervägdes och beslutades.

Bibliografi

1. Vilenkin N. Ya. Matematik: lärobok. för 5 celler. allmän konst. 17:e uppl. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Ordproblem i matematik: 5–6. – M.: Ileksa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. All skolmatematik i fristående och kontroll fungerar. Matematik 5–6. – M.: Ileksa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Bildning av beräkningsfärdigheter i matematiklektioner. 5:e-9:e klasserna. – M.: Ileksa, 2011 .

1. Internetportal "Festival för pedagogiska idéer" (Källa)

2. Internetportal "Matematika-na.ru" (källa)

3. Internetportal "School.xvatit.com" (källa)

Läxa

3. Jämför uttrycksvärden:

Åtgärder med noll

I matematik, siffran noll- intar en speciell plats. Faktum är att det faktiskt betyder "ingenting", "tomhet", men dess betydelse är verkligen svår att överskatta. För att göra detta räcker det att komma ihåg åtminstone vad exakt med nollmärke och nedräkningen av koordinaterna för punktpositionen i något koordinatsystem börjar.

Noll används ofta i decimaler för att bestämma värdena för "tomma" siffror, både före och efter decimalkomma. Dessutom är en av de grundläggande aritmetikens regler förknippad med den, som säger att på noll- kan inte delas. Hans logik härrör i själva verket från själva kärnan i detta nummer: det är faktiskt omöjligt att föreställa sig att något värde som skiljer sig från det (och det självt också) var uppdelat i "ingenting".

FRÅN noll- alla aritmetiska operationer utförs, och heltal, ordinarie och decimalbråk kan användas som dess "partners", och alla kan ha både positiva och negativa värden. Vi ger exempel på deras genomförande och några förklaringar till dem.

När du lägger till noll- för något tal (både helt och bråktal, både positivt och negativt), förblir dess värde absolut oförändrat.

tjugofyra plus noll-är lika med tjugofyra.

Sjutton komma tre åttonde plus noll- motsvarar sjutton komma tre åttondelar.

  • Former för skattedeklarationer Vi uppmärksammar deklarationsblanketter för alla typer av skatter och avgifter: 1. Inkomstskatt. Observera, från och med den 10.02.2014 lämnas inkomstskatteredovisningen enligt nya provdeklarationer godkända genom beslut av skatteministeriet nr 872 daterat den 30.12.2013.1. 1. Inkomstdeklaration […]
  • Kvadratera summan och kvadrera skillnadsreglerna Syfte: Att härleda formler för att kvadrera summan och skillnaden av uttryck. Förväntade resultat: att lära sig hur man använder formlerna för summans kvadrat och skillnaden i kvadrat. Typ av lektion: lektion med problempresentation. I. Presentation av ämnet och syftet med lektionen II. Arbeta med ämnet för lektionen När du multiplicerar […]
  • Vad är skillnaden mellan privatisering av en lägenhet med minderåriga barn och privatisering utan barn? Funktioner i deras deltagande, dokument Alla fastighetstransaktioner kräver noggrann uppmärksamhet av deltagarna. Speciellt om du planerar att privatisera en lägenhet med minderåriga barn. För att den ska erkännas som giltig, och […]
  • Beloppet för den statliga avgiften för ett gammalt internationellt pass för ett barn under 14 år och var det ska betalas. Överklagande till statliga myndigheter för att ta emot någon tjänst åtföljs alltid av betalning av en statlig avgift. För att ansöka om ett utländskt pass måste du också betala en federal avgift. Hur mycket är storleken […]
  • Hur man fyller i ett ansökningsformulär för att byta ut ett pass vid 45 ryska pass måste bytas ut när åldersmärket uppnås - 20 eller 45 år. För att få en offentlig tjänst måste du lämna in en ansökan i föreskriven form, bifoga nödvändiga dokument och betala […]
  • Hur och var man kan ge en donation för en andel i en lägenhet Många medborgare står inför ett sådant rättsligt förfarande som att donera fastigheter som är i delad ägo. Det finns ganska mycket information om hur man ger ut en donation för en andel i en lägenhet korrekt, och den är inte alltid tillförlitlig. Innan du startar, […]