Hakbang-hakbang na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa online. Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Katulad na mga patakaran para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Ngayon, mga kaibigan, walang uhog at damdamin. Sa halip, ipapadala kita sa labanan kasama ang isa sa mga pinakakakila-kilabot na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang nang walang karagdagang tanong.

Oo, naunawaan mo nang tama ang lahat: pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus. Titingnan namin ang apat na pangunahing pamamaraan kung saan matututunan mong lutasin ang tungkol sa 90% ng mga problemang ito. Paano ang iba pang 10%? Well, pag-uusapan natin sila sa isang hiwalay na aralin. :)

Gayunpaman, bago pag-aralan ang anumang mga trick doon, nais kong alalahanin ang dalawang katotohanan na kailangan mo nang malaman. Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang materyal ng aralin ngayon.

Ang kailangan mo nang malaman

Ang Captain Evidence, kumbaga, ay nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang modulus, kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

1. Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay?
2. Ano ang modyul.

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphic. Magsimula tayo sa algebra:

Kahulugan. Ang module ng numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay nasa duality na ito (sa isang lugar na hindi mo kailangang gawin ang anumang bagay sa orihinal na numero, ngunit sa isang lugar kailangan mong alisin ang ilang minus doon) at ang lahat ng kahirapan para sa mga baguhan na mag-aaral ay namamalagi.

Mayroon ding geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman ito, ngunit tatalakayin lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa totoong linya. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Sa isang paraan o iba pa, ang pangunahing katangian nito ay sumusunod kaagad mula sa kahulugan ng module: ang modulus ng isang numero ay palaging isang hindi negatibong halaga. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa aming buong kuwento ngayon.

Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng Spacing

Ngayon harapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay ang malutas kahit ang pinakasimpleng mga ito. Ang mga nabawasan sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng mga agwat.

Mayroon akong dalawang malalaking tutorial sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda ko ang pag-aaral):

1. Ang paraan ng agwat para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
2. Ang mga fractional-rational inequalities ay isang napakalaking aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang katanungan na natitira.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi mo gustong pumatay sa pader, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin. :)

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Module less than function"

Ito ay isa sa mga pinaka-madalas na nakakaharap na mga gawain na may mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang anumang bagay ay maaaring kumilos bilang mga function na $f$ at $g$, ngunit kadalasan ang mga ito ay mga polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay literal na malulutas sa isang linya ayon sa pamamaraan:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na inaalis natin ang module, ngunit sa halip ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat ng posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng module ay positibo, ang pamamaraan ay gumagana; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba mas madali? Sa kasamaang palad, hindi mo magagawa. Ito ang buong punto ng modyul.

Ngunit sapat na ang pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3\kanan| \ltx+7\]

Solusyon. Kaya, mayroon kaming isang klasikal na hindi pagkakapantay-pantay ng form na "ang module ay mas mababa kaysa sa" - kahit na walang pagbabago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3\kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga bracket na pinangungunahan ng isang "minus": posible na dahil sa pagmamadali ay makakagawa ka ng isang nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Pansinin namin ang kanilang mga solusyon sa parallel real lines:

Intersection ng marami

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solusyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Upang magsimula, ihiwalay namin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas mababa ang module", kaya't tinanggal namin ang module ayon sa kilalang algorithm:

\[-\kaliwa(-3\kaliwa(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng mga bracket na ito. Ngunit muli kong ipinapaalala sa iyo na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong pinagkadalubhasaan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mong ilihis ang iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga minus, atbp.

At para sa mga panimula, aalisin lang namin ang double minus sa kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1\kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Dumaan kami sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay naging isang hindi kumpletong quadratic equation, na nalutas sa elementarya. Ngayon harapin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang nakuha na mga numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa tingin ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module tulad ng inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaaring malutas nang hiwalay.
3. Sa wakas, nananatili lamang ang pagtawid sa mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na uri, kapag ang modulus ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong "Module is greater than function"

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\]

Katulad ng nauna? parang. Gayunpaman, ang mga naturang gawain ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

1. Una, binabalewala lang natin ang module - nilulutas natin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
2. Pagkatapos, sa katunayan, binubuksan namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply namin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, na may isang palatandaan.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming kumbinasyon ng dalawang kinakailangan.

Bigyang-pansin muli: bago sa amin ay hindi isang sistema, ngunit isang pinagsama-samang, samakatuwid sa sagot, ang mga set ay pinagsama, hindi intersected. Ito ay isang pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang talata!

Sa pangkalahatan, maraming mga mag-aaral ang may maraming pagkalito sa mga unyon at interseksyon, kaya't tingnan natin ang isyung ito minsan at para sa lahat:

• Ang "∪" ay isang tanda ng pagkakadugtong. Sa katunayan, ito ay isang naka-istilong titik na "U", na dumating sa amin mula sa wikang Ingles at isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
• Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang pagsalungat sa "∪".

Para mas madaling matandaan, idagdag lang ang mga binti sa mga palatandaang ito upang gumawa ng mga baso (huwag mo lang akong akusahan na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo ngayon: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay adik na sa droga):

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (koleksyon) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid, hindi bababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong pareho sa unang set at sa pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Iyan ay mahusay. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solusyon. Kumilos kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Niresolba namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Malinaw na ang sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Solusyon. Well? Hindi, pareho lang. Tayo ay pumasa mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus sa isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat ay hindi magiging napakahusay doon:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, mayroon ding kaunting laro:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon kailangan nating markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, kailangan mong markahan ang mga punto sa tamang pagkakasunud-sunod: kung mas malaki ang numero, lalo pang lumilipat ang punto sa kanan.

At narito kami ay naghihintay para sa isang setup. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas maliit din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ hindi rin magkakaroon ng kahirapan (isang positibong numero na halatang mas negatibo), ngunit sa huling mag-asawa, ang lahat ay hindi gaanong simple. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang pag-aayos ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, sa wakas ang mga punto sa mga palakol ay isasaayos tulad nito:

Kaso pangit ang ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas natin ang isang set, kaya ang sagot ay ang unyon, at hindi ang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa mga simpleng gawain at para sa napakahirap na gawain. Ang tanging "mahina na lugar" sa diskarteng ito ay kailangan mong ihambing nang tama ang mga hindi makatwiran na numero (at maniwala ka sa akin: hindi lamang ito mga ugat). Ngunit isang hiwalay (at napakaseryosong aral) ang ilalaan sa mga tanong ng paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Kaya nakarating kami sa pinakakawili-wili. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt\left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay totoo lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga hindi negatibong buntot, ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit ito ay isang ganap na naiibang kuwento (ito ay, kumbaga, hindi makatwiran na mga equation), kaya hindi na natin ito papasok ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Solusyon. Agad nating napapansin ang dalawang bagay:

1. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay puputulin.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Sa huling hakbang, dinaya ko ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunud-sunod ng mga termino, gamit ang parity ng modulus (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Markahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng module sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso, ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK tapos na ang lahat Ngayon. Nalutas ang problema.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Solusyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

I-square natin ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng espasyo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong saklaw

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga expression ng submodule sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong tawaging kondisyon na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol sa kanya - sa isang hiwalay na aralin. At ngayon ay lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at isaalang-alang ang isang unibersal na algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan. :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga trick na ito ay hindi gumana? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nabawasan sa di-negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang module, kung sa lahat ng sakit-kalungkutan-pagnanasa?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay pumasok sa eksena - ang paraan ng enumeration. Tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

1. Isulat ang lahat ng mga expression ng submodule at ipantay ang mga ito sa zero;
2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga natagpuang ugat sa isang linya ng numero;
3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may isang nakapirming sign at samakatuwid ay hindi malabo na lumalawak;
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat ng hangganan na nakuha sa talata 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot. :)

Well, paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt\kaliwa| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solusyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt\kaliwa| g \right|$, kaya sige na.

Sinusulat namin ang mga expression ng submodule, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, sa loob kung saan ang bawat module ay natatangi:

Hinahati ang linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng mga submodular na function

Isaalang-alang natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga expression ng submodule ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isinulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo simpleng hadlang. I-intersect natin ito sa orihinal na pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 ngunit mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Magkahiwalay nating isaalang-alang ang boundary case: $x=-2$. I-substitute na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: may hawak ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kaliwa| -3 \kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw, ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa maling hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Ngayon hayaan ang $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay may "minus" pa rin. Meron kami:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang walang laman na hanay ng mga solusyon, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli isang espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kaliwa| 3\kanan| \lt\kaliwa| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Dito lahat ng module ay pinalawak na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli naming i-intersect ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \kanan)\]

Sa wakas! Natagpuan namin ang pagitan, na siyang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Panghuli, isang tala na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga module ay karaniwang tuluy-tuloy na mga hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay mas bihira. At kahit na mas bihira, nangyayari na ang mga hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay nag-tutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Samakatuwid, kung ang mga hangganan (mga "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, kung gayon ang mga lugar sa kaliwa-kanan ng mga hangganang ito ay halos tiyak na hindi rin isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok bilang tugon, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga tugon din.

Isaisip ito kapag sinusuri mo ang iyong mga solusyon.

Una, ilang lyrics para madama ang problemang nalulutas ng paraan ng interval. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

(x − 5)(x + 3) > 0

Ano ang mga pagpipilian? Ang unang bagay na naiisip ng karamihan sa mga mag-aaral ay ang mga panuntunang "plus times plus makes plus" at "minus times minus makes plus." Samakatuwid, sapat na upang isaalang-alang ang kaso kapag ang parehong mga bracket ay positibo: x − 5 > 0 at x + 3 > 0. Pagkatapos ay isaalang-alang din namin ang kaso kapag ang parehong mga bracket ay negatibo: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mas matatandaan ng mga advanced na estudyante (marahil) na sa kaliwa ay isang quadratic function na ang graph ay isang parabola. Bukod dito, ang parabola na ito ay nag-intersect sa OX axis sa mga puntong x = 5 at x = −3. Para sa karagdagang trabaho, kailangan mong buksan ang mga bracket. Meron kami:

x 2 − 2x − 15 > 0

Ngayon ay malinaw na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, dahil coefficient a = 1 > 0. Subukan nating gumuhit ng diagram ng parabola na ito:

Ang function ay mas malaki kaysa sa zero kung saan ito pumasa sa itaas ng OX axis. Sa aming kaso, ito ang mga pagitan (−∞ −3) at (5; +∞) - ito ang sagot.

Pakitandaan na eksaktong ipinapakita ang larawan function diagram, hindi ang kanyang iskedyul. Dahil para sa isang tunay na graph, kailangan mong kalkulahin ang mga coordinate, kalkulahin ang mga offset at iba pang crap, na hindi na namin kailangan ngayon.

Bakit hindi epektibo ang mga pamamaraang ito?

Kaya, isinasaalang-alang namin ang dalawang solusyon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Pareho pala silang napakahirap. Ang unang desisyon ay lumitaw - isipin lamang ito! ay isang hanay ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangalawang solusyon ay hindi rin napakadali: kailangan mong tandaan ang parabola graph at isang grupo ng iba pang maliliit na katotohanan.

Ito ay isang napakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay. Mayroon lamang itong 2 multiplier. Ngayon isipin na hindi magkakaroon ng 2 multiplier, ngunit hindi bababa sa 4. Halimbawa:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Paano malutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay? Dumaan sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga kalamangan at kahinaan? Oo, matutulog tayo nang mas mabilis kaysa makahanap tayo ng solusyon. Hindi rin opsyon ang pagguhit ng graph, dahil hindi malinaw kung paano kumikilos ang naturang function sa coordinate plane.

Para sa gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan ang isang espesyal na algorithm ng solusyon, na isasaalang-alang natin ngayon.

Ano ang paraan ng pagitan

Ang paraan ng agwat ay isang espesyal na algorithm na idinisenyo upang malutas ang mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 at f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Lutasin ang equation f (x) \u003d 0. Kaya, sa halip na isang hindi pagkakapantay-pantay, nakakakuha tayo ng isang equation na mas madaling lutasin;
2. Markahan ang lahat ng nakuhang ugat sa linya ng coordinate. Kaya, ang tuwid na linya ay mahahati sa ilang mga pagitan;
3. Alamin ang sign (plus o minus) ng function na f (x) sa pinakakanang pagitan. Upang gawin ito, sapat na upang palitan sa f (x) ang anumang numero na nasa kanan ng lahat ng minarkahang ugat;
4. Markahan ang mga marka sa iba pang mga pagitan. Upang gawin ito, sapat na tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda.

Iyon lang! Pagkatapos nito, nananatili lamang na isulat ang mga agwat na interesado sa amin. Ang mga ito ay minarkahan ng “+” sign kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong f (x) > 0, o isang “−” sign kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong f (x)< 0.

Sa unang tingin, maaaring mukhang ang paraan ng pagitan ay isang uri ng lata. Ngunit sa pagsasagawa, ang lahat ay magiging napaka-simple. Kailangan ng kaunting pagsasanay - at magiging malinaw ang lahat. Tingnan ang mga halimbawa at tingnan para sa iyong sarili:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

(x − 2)(x + 7)< 0

Nagtatrabaho kami sa paraan ng mga agwat. Hakbang 1: Palitan ang hindi pagkakapantay-pantay ng isang equation at lutasin ito:

(x − 2)(x + 7) = 0

Ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

May dalawang ugat. Pumunta sa hakbang 2: markahan ang mga ugat na ito sa linya ng coordinate. Meron kami:

Ngayon hakbang 3: nakita namin ang sign ng function sa pinakakanang pagitan (sa kanan ng minarkahang punto x = 2). Upang gawin ito, kailangan mong kumuha ng anumang numero na mas malaki kaysa sa numerong x = 2. Halimbawa, kunin natin ang x = 3 (ngunit walang nagbabawal sa pagkuha ng x = 4, x = 10, at kahit na x = 10,000). Nakukuha namin:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Nakukuha namin ang f (3) = 10 > 0, kaya naglalagay kami ng plus sign sa pinakakanang pagitan.

Dumaan kami sa huling punto - kinakailangang tandaan ang mga palatandaan sa natitirang mga agwat. Tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, dapat magbago ang tanda. Halimbawa, sa kanan ng root x = 2 mayroong plus (siguraduhin namin ito sa nakaraang hakbang), kaya dapat mayroong minus sa kaliwa.

Ang minus na ito ay umaabot sa buong pagitan (−7; 2), kaya may minus sa kanan ng root x = −7. Samakatuwid, mayroong plus sa kaliwa ng root x = −7. Ito ay nananatiling markahan ang mga palatandaang ito sa coordinate axis. Meron kami:

Bumalik tayo sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, na mukhang:

(x − 2)(x + 7)< 0

Kaya ang function ay dapat na mas mababa sa zero. Nangangahulugan ito na interesado tayo sa minus sign, na nangyayari lamang sa isang pagitan: (−7; 2). Ito ang magiging sagot.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Hakbang 1: I-equate ang kaliwang bahagi sa zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Iyon ang dahilan kung bakit may karapatan tayong ipantay sa zero ang bawat indibidwal na bracket.

Hakbang 2: markahan ang lahat ng mga ugat sa linya ng coordinate:

Hakbang 3: alamin ang palatandaan ng pinakakanang puwang. Kinukuha namin ang anumang numero na mas malaki kaysa sa x = 1. Halimbawa, maaari naming kunin ang x = 10. Mayroon kaming:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Hakbang 4: Ilagay ang natitirang mga palatandaan. Tandaan na kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda. Bilang resulta, ang aming larawan ay magiging ganito:

Iyon lang. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot. Tingnan muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Ito ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ito ang sagot.

Isang tala tungkol sa mga palatandaan ng pag-andar

Ipinapakita ng pagsasanay na ang pinakamalaking paghihirap sa paraan ng agwat ay lumitaw sa huling dalawang hakbang, i.e. kapag naglalagay ng mga palatandaan. Maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito: kung anong mga numero ang kukunin at kung saan maglalagay ng mga palatandaan.

Upang tuluyang maunawaan ang paraan ng agwat, isaalang-alang ang dalawang pangungusap kung saan ito binuo:

1. Ang isang tuluy-tuloy na function ay nagbabago ng sign lamang sa mga punto kung saan ito ay katumbas ng zero. Ang ganitong mga punto ay pinuputol ang coordinate axis sa mga piraso, kung saan ang tanda ng function ay hindi kailanman nagbabago. Iyon ang dahilan kung bakit nilulutas namin ang equation f (x) \u003d 0 at markahan ang mga natagpuang ugat sa isang tuwid na linya. Ang mga numerong natagpuan ay ang "hangganan" na mga punto na naghihiwalay sa mga plus mula sa mga minus.
2. Upang malaman ang tanda ng isang function sa anumang pagitan, ito ay sapat na upang palitan ang anumang numero mula sa pagitan na ito sa function. Halimbawa, para sa pagitan (−5; 6) maaari nating kunin ang x = −4, x = 0, x = 4 at kahit x = 1.29374 kung gusto natin. Bakit ito mahalaga? Oo, dahil maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang mag-alinlangan. Tulad ng, paano kung para sa x = −4 makakakuha tayo ng plus, at para sa x = 0 makakakuha tayo ng minus? Walang mangyayaring ganyan. Ang lahat ng mga punto sa parehong pagitan ay nagbibigay ng parehong tanda. Alalahanin mo ito.

Iyon lang ang kailangan mong malaman tungkol sa paraan ng agwat. Siyempre, binuwag namin ito sa pinakasimpleng anyo nito. Mayroong mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay - hindi mahigpit, fractional at may paulit-ulit na mga ugat. Para sa kanila, maaari mo ring ilapat ang paraan ng pagitan, ngunit ito ay isang paksa para sa isang hiwalay na malaking aralin.

Ngayon gusto kong pag-aralan ang isang advanced na trick na lubos na nagpapasimple sa paraan ng agwat. Mas tiyak, ang pagpapasimple ay nakakaapekto lamang sa ikatlong hakbang - ang pagkalkula ng sign sa pinakakanang bahagi ng linya. Para sa ilang kadahilanan, ang pamamaraan na ito ay hindi gaganapin sa mga paaralan (kahit na walang nagpaliwanag nito sa akin). Ngunit walang kabuluhan - sa katunayan, ang algorithm na ito ay napaka-simple.

Kaya, ang tanda ng function ay nasa kanang bahagi ng numerical axis. Ang piraso na ito ay may anyo (a; +∞), kung saan ang a ang pinakamalaking ugat ng equation na f (x) = 0. Upang hindi masira ang ating utak, isaalang-alang ang isang partikular na halimbawa:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mayroon kaming 3 ugat. Inilista namin ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod: x = −2, x = 1 at x = 7. Malinaw, ang pinakamalaking ugat ay x = 7.

Para sa mga mas madaling mangatuwiran nang grapiko, markahan ko ang mga ugat na ito sa linya ng coordinate. Tignan natin kung anong mangyayari:

Kinakailangang hanapin ang tanda ng function na f (x) sa pinakakanang pagitan, i.e. sa (7; +∞). Ngunit tulad ng nabanggit na namin, upang matukoy ang tanda, maaari kang kumuha ng anumang numero mula sa pagitan na ito. Halimbawa, maaari mong kunin ang x = 8, x = 150, atbp. At ngayon - ang parehong pamamaraan na hindi itinuro sa mga paaralan: kunin natin ang infinity bilang isang numero. Mas tiyak, plus infinity, ibig sabihin. +∞.

"Bato ka ba? Paano mo mapapalitan ang infinity sa isang function? marahil, tanong mo. Ngunit isipin ito: hindi natin kailangan ang halaga ng mismong function, kailangan lang natin ang sign. Samakatuwid, halimbawa, ang mga halaga ng f (x) = −1 at f (x) = −938 740 576 215 ay nangangahulugan ng parehong bagay: ang function ay negatibo sa pagitan na ito. Samakatuwid, ang kailangan mo lang ay hanapin ang sign na nangyayari sa infinity, at hindi ang halaga ng function.

Sa katunayan, ang pagpapalit ng infinity ay napakasimple. Bumalik tayo sa ating function:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Isipin na ang x ay isang napakalaking numero. Isang bilyon o kahit isang trilyon. Ngayon tingnan natin kung ano ang nangyayari sa bawat panaklong.

Unang bracket: (x − 1). Ano ang mangyayari kung ibawas mo ang isa sa isang bilyon? Ang resulta ay isang numerong hindi gaanong naiiba sa isang bilyon, at ang bilang na ito ay magiging positibo. Katulad din sa pangalawang bracket: (2 + x). Kung magdadagdag tayo ng isang bilyon sa dalawa, makakakuha tayo ng isang bilyon na may kopecks - ito ay isang positibong numero. Panghuli, ang ikatlong bracket: (7 − x ). Dito magkakaroon ng minus isang bilyon, kung saan ang isang kahabag-habag na piraso sa anyo ng isang pito ay "nanganganga". Yung. ang resultang numero ay hindi gaanong mag-iiba mula sa minus isang bilyon - ito ay magiging negatibo.

Ito ay nananatiling hanapin ang tanda ng buong gawain. Dahil mayroon kaming plus sa mga unang bracket, at isang minus sa huling bracket, nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:

(+) · (+) · (−) = (−)

Ang huling tanda ay minus! Hindi mahalaga kung ano ang halaga ng mismong function. Ang pangunahing bagay ay ang halaga na ito ay negatibo, i.e. sa pinakakanang pagitan ay may minus sign. Ito ay nananatiling upang makumpleto ang ika-apat na hakbang ng paraan ng pagitan: ayusin ang lahat ng mga palatandaan. Meron kami:

Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mukhang:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Samakatuwid, interesado kami sa mga agwat na minarkahan ng minus sign. Isinulat namin ang sagot:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Iyan ang buong trick na gusto kong sabihin. Sa konklusyon, mayroong isa pang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan gamit ang infinity. Upang biswal na paikliin ang solusyon, hindi ako magsusulat ng mga numero ng hakbang at mga detalyadong komento. Isusulat ko lamang kung ano ang talagang kailangang isulat kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Pinapalitan namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng isang equation at lutasin ito:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng coordinate (kaagad na may mga palatandaan):

Mayroong plus sa kanang bahagi ng coordinate axis, dahil ang pag-andar ay mukhang:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

At kung papalitan natin ang infinity (halimbawa, isang bilyon), makakakuha tayo ng tatlong positibong bracket. Dahil ang orihinal na expression ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kami ay interesado lamang sa mga plus. Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag ang kaliwa at kanang bahagi nito ay mga linear na function na may paggalang sa hindi kilalang halaga. Kabilang dito, halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay: ax+b>0 o palakol+b<0

2) Hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay: ax+b≤0 o palakol+b≫ 0

Gawin natin ang gawaing ito. Ang isang gilid ng paralelogram ay 7 cm. Ano ang dapat na haba ng kabilang panig upang ang perimeter ng paralelogram ay higit sa 44 cm?

Hayaan ang nais na panig X tingnan Sa kasong ito, ang perimeter ng parallelogram ay kakatawanin ng (14 + 2x) tingnan.Ang hindi pagkakapantay-pantay na 14 + 2x > 44 ay isang mathematical model ng problema ng perimeter ng isang parallelogram. Kung sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay pinapalitan natin ang variable X sa, halimbawa, ang numero 16, pagkatapos ay makuha namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero 14 + 32\u003e 44. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang numero 16 ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 14 + 2x\u003e 44.

Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay pangalanan ang halaga ng variable na nagiging tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Samakatuwid, ang bawat isa sa mga numero 15.1; Ang 20;73 ay nagsisilbing solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 14 + 2x > 44, at ang bilang na 10, halimbawa, ay hindi solusyon nito.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nangangahulugan na itatag ang lahat ng mga solusyon nito o patunayan na ang mga solusyon ay hindi umiiral.

Ang pagbabalangkas ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay katulad ng pagbabalangkas ng ugat ng equation. Gayunpaman, hindi kaugalian na italaga ang "ugat ng hindi pagkakapantay-pantay."

Ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nakatulong sa amin na malutas ang mga equation. Katulad nito, ang mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay makakatulong sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang paglutas ng equation, binabago namin ito sa isa pa, mas simpleng equation, ngunit katumbas ng ibinigay. Sa katulad na paraan, ang sagot ay matatagpuan para sa hindi pagkakapantay-pantay. Kapag binabago ang equation sa isang equation na katumbas nito, ginagamit nila ang theorem sa paglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa kabaligtaran at sa multiplikasyon ng parehong bahagi ng equation sa parehong di-zero na numero. Kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, mayroong isang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan nito at isang equation, na nakasalalay sa katotohanan na ang anumang solusyon sa isang equation ay maaaring suriin sa pamamagitan lamang ng pagpapalit nito sa orihinal na equation. Sa mga hindi pagkakapantay-pantay, walang ganoong paraan, dahil hindi posibleng palitan ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, mayroong isang mahalagang konsepto, ang mga arrow na ito<=>ay ang tanda ng katumbas, o katumbas, pagbabagong-anyo. Ang pagbabago ay tinatawag katumbas o katumbas kung hindi nila babaguhin ang set ng desisyon.

Katulad na mga patakaran para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Kung ang anumang termino ay inilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa, habang pinapalitan ang sign nito ng kabaligtaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay.

Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (hinati) sa parehong positibong numero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay na isa.

Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (hinati) ng parehong negatibong numero, habang pinapalitan ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ng kabaligtaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng ibinigay.

Gamit ang mga ito mga regulasyon kinakalkula namin ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.

1) Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay 2x - 5 > 9.

ito linear inequality, hanapin ang solusyon nito at talakayin ang mga pangunahing konsepto.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 ay inilipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan), pagkatapos ay hinati namin ang lahat ng 2 at mayroon kami x > 7. Naglalapat kami ng isang hanay ng mga solusyon sa axis x

Nakakuha kami ng positively directed beam. Pansinin namin ang hanay ng mga solusyon alinman sa anyo ng hindi pagkakapantay-pantay x > 7, o bilang isang pagitan x(7; ∞). At ano ang isang partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito? Halimbawa, x=10 ay isang partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, x=12 ay isa ring partikular na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Maraming partikular na solusyon, ngunit ang aming gawain ay hanapin ang lahat ng solusyon. At ang mga solusyon ay karaniwang walang hanggan.

Pag-aralan natin halimbawa 2:

2) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 4a - 11 > a + 13.

lutasin natin ito: a lumipat sa isang tabi 11 lumipat sa kabilang panig, makakakuha tayo ng 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 may anyo ang hindi pagkakapantay-pantay a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Ipapakita din namin ang set a< 8 , ngunit nasa axis na a.

Ang sagot ay maaaring nakasulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay a< 8, либо a(-∞;8), Hindi naka-on ang 8.

Isa sa mga paksang nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga mula sa mga mag-aaral ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Kaya katulad ng mga equation at sa parehong oras ay ibang-iba sa kanila. Dahil ang kanilang solusyon ay nangangailangan ng isang espesyal na diskarte.

Mga katangian na kinakailangan upang mahanap ang sagot

Ang lahat ng mga ito ay ginagamit upang palitan ang isang umiiral na entry na may katumbas na isa. Karamihan sa kanila ay katulad ng kung ano ang nasa mga equation. Ngunit mayroon ding mga pagkakaiba.

• Ang isang function na tinukoy sa DPV, o anumang numero, ay maaaring idagdag sa parehong bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
• Katulad nito, ang pagpaparami ay posible, ngunit sa pamamagitan lamang ng isang positibong function o numero.
• Kung ang pagkilos na ito ay ginawa gamit ang isang negatibong function o numero, dapat na baligtarin ang inequality sign.
• Ang mga function na hindi negatibo ay maaaring itaas sa isang positibong kapangyarihan.

Minsan ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay sinamahan ng mga aksyon na nagbibigay ng mga extraneous na sagot. Kailangang alisin ang mga ito sa pamamagitan ng paghahambing ng lugar ng ODZ at ang hanay ng mga solusyon.

Gamit ang spacing method

Ang kakanyahan nito ay upang bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang equation kung saan ang zero ay nasa kanang bahagi.

1. Tukuyin ang lugar kung saan matatagpuan ang mga pinahihintulutang halaga ng mga variable, iyon ay, ang ODZ.
2. Ibahin ang anyo ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mathematical operations upang ang kanang bahagi nito ay zero.
3. Palitan ang inequality sign ng "=" at lutasin ang kaukulang equation.
4. Sa numerical axis, markahan ang lahat ng mga sagot na nakuha sa panahon ng solusyon, pati na rin ang mga pagitan ng ODZ. Sa kaso ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga puntos ay dapat na iguguhit butas. Kung mayroong isang pantay na tanda, pagkatapos ay dapat silang lagyan ng kulay.
5. Tukuyin ang tanda ng orihinal na function sa bawat pagitan na nagreresulta mula sa mga punto ng ODZ at ang mga sagot na naghahati nito. Kung ang tanda ng pag-andar ay hindi nagbabago kapag dumadaan sa isang punto, pagkatapos ay pumapasok ito sa sagot. Kung hindi, ito ay hindi kasama.
6. Ang mga boundary point para sa ODZ ay kailangang dagdagan ng tsek at pagkatapos lamang isama o hindi bilang tugon.
7. Ang sagot na nakuha ay dapat na nakasulat sa anyo ng united set.

Medyo tungkol sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Gumagamit sila ng dalawang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa talaan nang sabay-sabay. Iyon ay, ang ilang function ay nililimitahan ng mga kundisyon nang dalawang beses nang sabay-sabay. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas bilang isang sistema ng dalawa, kapag ang orihinal ay nahahati sa mga bahagi. At sa paraan ng mga pagitan, ang mga sagot mula sa solusyon ng parehong mga equation ay ipinahiwatig.

Upang malutas ang mga ito, pinapayagan din na gamitin ang mga katangian na ipinahiwatig sa itaas. Sa kanilang tulong, ito ay maginhawa upang mabawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa zero.

Paano naman ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may modulus?

Sa kasong ito, ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay gumagamit ng mga sumusunod na katangian, at ang mga ito ay wasto para sa isang positibong halaga ng "a".

Kung ang "x" ay kumuha ng algebraic na expression, ang mga sumusunod na pagpapalit ay wasto:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a sa x< -a или х >a.

Kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kung gayon ang mga pormula ay totoo rin, sa kanila lamang, bilang karagdagan sa mas malaki o mas kaunting tanda, "=" ay lilitaw.

Paano nalulutas ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay?

Kakailanganin ang kaalamang ito sa mga pagkakataong iyon kapag ibinigay ang ganoong gawain o mayroong talaan ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay o lumitaw ang isang module sa talaan. Sa ganoong sitwasyon, ang solusyon ay ang mga halaga ng mga variable na makakatugon sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay sa talaan. Kung walang ganoong mga numero, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon.

Ang plano ayon sa kung saan ang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay isinasagawa:

• lutasin ang bawat isa sa kanila nang hiwalay;
• ilarawan ang lahat ng mga pagitan sa numerical axis at tukuyin ang kanilang mga intersection;
• isulat ang tugon ng sistema, na siyang magiging unyon ng nangyari sa ikalawang talata.

Paano naman ang fractional inequalities?

Dahil sa panahon ng kanilang solusyon ay maaaring kailanganing baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang sundin ang lahat ng mga punto ng plano nang maingat at maingat. Kung hindi, maaari kang makakuha ng kabaligtaran na sagot.

Ang paglutas ng mga fractional inequalities ay gumagamit din ng interval method. At ang plano ng aksyon ay:

• Gamit ang inilarawang mga katangian, bigyan ang fraction ng isang form na zero lamang ang natitira sa kanan ng sign.
• Palitan ang hindi pagkakapantay-pantay ng "=" at tukuyin ang mga punto kung saan ang function ay magiging katumbas ng zero.
• Markahan ang mga ito sa coordinate axis. Sa kasong ito, ang mga numero na nagreresulta mula sa mga kalkulasyon sa denominator ay palaging mapupuksa. Ang lahat ng iba ay batay sa hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon.
• Tukuyin ang mga pagitan ng katatagan.
• Bilang tugon, isulat ang unyon ng mga pagitan na ang tanda ay tumutugma sa kung saan ay sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga sitwasyon kung kailan lumilitaw ang irrationality sa hindi pagkakapantay-pantay

Sa madaling salita, mayroong mathematical root sa record. Dahil karamihan sa mga gawain sa kursong algebra ng paaralan ay para sa square root, siya ang isasaalang-alang.

Ang solusyon ng hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay bumaba sa pagkuha ng isang sistema ng dalawa o tatlo na magiging katumbas ng orihinal.

Mga halimbawa ng paglutas ng iba't ibang uri ng hindi pagkakapantay-pantay

Upang magdagdag ng kalinawan sa teorya tungkol sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga halimbawa ay ibinigay sa ibaba.

Unang halimbawa. 2x - 4 > 1 + x

Solusyon: Upang matukoy ang DHS, kailangan lamang tingnang mabuti ang hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay nabuo mula sa mga linear na pag-andar, samakatuwid ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng variable.

Ngayon mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay kailangan mong ibawas (1 + x). Ito ay lumabas na: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Pagkatapos mabuksan ang mga bracket at maibigay ang mga katulad na termino, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng sumusunod na anyo: x - 5 > 0.

Ang equating ito sa zero, madaling mahanap ang solusyon nito: x = 5.

Ngayon ang puntong ito na may numero 5 ay dapat markahan sa coordinate beam. Pagkatapos ay suriin ang mga palatandaan ng orihinal na pag-andar. Sa unang agwat mula sa minus infinity hanggang 5, maaari mong kunin ang numero 0 at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay na nakuha pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo. Pagkatapos ng mga kalkulasyon, lumalabas na -7 >0. sa ilalim ng arko ng pagitan kailangan mong pumirma ng minus sign.

Sa susunod na pagitan mula 5 hanggang infinity, maaari mong piliin ang numero 6. Pagkatapos ay lumalabas na 1 > 0. Ang sign na "+" ay nilagdaan sa ilalim ng arko. Ang ikalawang pagitan na ito ang magiging sagot sa hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot: ang x ay nasa pagitan (5; ∞).

Pangalawang halimbawa. Kinakailangang lutasin ang isang sistema ng dalawang equation: 3x + 3 ≤ 2x + 1 at 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Solusyon. Ang ODZ ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nasa rehiyon ng anumang mga numero, dahil ang mga linear na function ay ibinibigay.

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyo ng sumusunod na equation: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Pagkatapos ng pagbabagong-anyo: -x - 4 =0. Gumagawa ito ng isang halaga para sa variable na katumbas ng -4.

Ang dalawang numerong ito ay dapat markahan sa axis, na nagpapakita ng mga pagitan. Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, ang lahat ng mga punto ay dapat na lilim. Ang unang pagitan ay mula sa minus infinity hanggang -4. Hayaang piliin ang numero -5. Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay magbibigay ng halaga -3, at ang pangalawang 1. Kaya ang agwat na ito ay hindi kasama sa sagot.

Ang pangalawang pagitan ay mula -4 hanggang -2. Maaari mong piliin ang numero -3 at palitan ito sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa una at sa pangalawa, nakuha ang halaga -1. Kaya, sa ilalim ng arko "-".

Sa huling pagitan mula -2 hanggang infinity, zero ang pinakamagandang numero. Kailangan mong palitan ito at hanapin ang mga halaga ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa una sa kanila isang positibong numero ang nakuha, at sa pangalawang zero. Ang agwat na ito ay dapat ding hindi kasama sa sagot.

Sa tatlong pagitan, isa lamang ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot: x ay kabilang sa [-4; -2].

Pangatlong halimbawa. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Solusyon. Ang unang hakbang ay upang matukoy ang mga punto kung saan nawawala ang mga function. Para sa kaliwa, ang numerong ito ay magiging 2, para sa kanan - 1. Dapat na markahan ang mga ito sa beam at dapat matukoy ang mga pagitan ng constancy.

Sa unang agwat, mula sa minus infinity hanggang 1, ang function mula sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay kumukuha ng mga positibong halaga, at mula sa kanan - negatibo. Sa ilalim ng arko, kailangan mong magsulat ng dalawang palatandaan na "+" at "-" sa tabi ng bawat isa.

Ang susunod na agwat ay mula 1 hanggang 2. Dito, ang parehong mga function ay kumukuha ng mga positibong halaga. Kaya, mayroong dalawang plus sa ilalim ng arko.

Ang ikatlong pagitan mula 2 hanggang infinity ay magbibigay ng sumusunod na resulta: ang kaliwang function ay negatibo, ang kanan ay positibo.

Isinasaalang-alang ang mga nagresultang palatandaan, kinakailangan upang kalkulahin ang mga halaga ng hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga agwat.

Sa una, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nakuha: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Ang minus bago ang dalawa sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay dahil sa ang katunayan na ang function na ito ay negatibo.

Pagkatapos ng pagbabago, ang hindi pagkakapantay-pantay ay ganito ang hitsura: x > 0. Kaagad itong nagbibigay ng mga halaga ng variable. Iyon ay, mula sa agwat na ito, tanging ang agwat mula 0 hanggang 1 ang pupunta bilang tugon.

Sa pangalawa: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Ang mga pagbabago ay magbibigay ng gayong hindi pagkakapantay-pantay: -3x + 4 ay mas malaki kaysa sa zero. Ang zero nito ay ang halagang x = 4/3. Dahil sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, lumalabas na ang x ay dapat na mas mababa sa numerong ito. Nangangahulugan ito na ang agwat na ito ay bumababa sa pagitan mula 1 hanggang 4/3.

Ang huli ay nagbibigay ng sumusunod na talaan ng hindi pagkakapantay-pantay: - (2 - x) > 2 (x - 1). Ang pagbabago nito ay humahantong sa: -x > 0. Ibig sabihin, ang equation ay totoo para sa x na mas mababa sa zero. Nangangahulugan ito na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa kinakailangang pagitan.

Sa unang dalawang pagitan, ang boundary number ay 1. Dapat itong suriin nang hiwalay. Iyon ay, palitan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay lumabas: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Ang pagbibilang ay nagbibigay na ang 1 ay mas malaki kaysa sa 0. Ito ay isang tunay na pahayag, kaya ang isa ay kasama sa sagot.

Sagot: ang x ay nasa pagitan (0; 4/3).

At ngayon hindi lahat ay maaaring malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Mas tiyak, hindi lamang lahat ay maaaring magpasya. Ilang tao ang makakagawa nito.
Klitschko

Ang araling ito ay magiging mahirap. Napakahirap na ang Pinili lamang ang makakarating sa dulo nito. Samakatuwid, bago basahin, inirerekumenda kong alisin ang mga kababaihan, pusa, buntis na bata at ...

Okay, ito ay talagang medyo simple. Ipagpalagay na pinagkadalubhasaan mo ang paraan ng pagitan (kung hindi mo ito pinagkadalubhasaan, inirerekumenda kong bumalik ka at basahin ito) at natutunan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $P\left(x \right) \gt 0$, kung saan $P Ang \left(x \right)$ ay ilang polynomial o produkto ng polynomials.

Naniniwala ako na hindi magiging mahirap para sa iyo na lutasin, halimbawa, tulad ng isang laro (sa pamamagitan ng paraan, subukan ito para sa isang warm-up):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti at isaalang-alang hindi lamang ang mga polynomial, ngunit ang tinatawag na rational fractions ng form:

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay magkaparehong polynomial ng anyong $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o ang produkto ng naturang polynomial.

Ito ay magiging isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangunahing punto ay ang pagkakaroon ng variable na $x$ sa denominator. Halimbawa, narito ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\kaliwa(3-x \kanan))^(2))\kaliwa(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

At ito ay hindi isang makatwiran, ngunit ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Sa hinaharap, sasabihin ko kaagad: mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ngunit lahat ng mga ito sa isang paraan o iba pa ay nabawasan sa paraan ng mga agwat na alam na natin. Samakatuwid, bago pag-aralan ang mga pamamaraang ito, alalahanin natin ang mga lumang katotohanan, kung hindi man ay walang kahulugan mula sa bagong materyal.

Ang kailangan mo nang malaman

Walang maraming mahahalagang katotohanan. Apat lang talaga ang kailangan namin.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Oo, oo: hahabulin nila tayo sa buong kurikulum ng matematika ng paaralan. At sa unibersidad din. Mayroong ilan sa mga formula na ito, ngunit kailangan lang namin ang mga sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\kanan). \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin ang huling dalawang formula - ito ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube (at hindi ang kubo ng kabuuan o pagkakaiba!). Madaling tandaan ang mga ito kung mapapansin mo na ang sign sa unang bracket ay kapareho ng sign sa orihinal na expression, at sa pangalawang bracket ito ay kabaligtaran ng sign sa orihinal na expression.

Linear na equation

Ito ang pinakasimpleng equation ng anyong $ax+b=0$, kung saan ang $a$ at $b$ ay mga ordinaryong numero, at $a\ne 0$. Ang equation na ito ay madaling lutasin:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Pansinin kong may karapatan tayong hatiin sa koepisyent na $a$, dahil $a\ne 0$. Ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal, dahil sa $a=0$ nakukuha natin ito:

Una, walang $x$ variable sa equation na ito. Ito, sa pangkalahatan, ay hindi dapat malito sa atin (nangyayari ito, sabihin nating, sa geometry, at medyo madalas), ngunit hindi na tayo isang linear equation.

Pangalawa, ang solusyon ng equation na ito ay nakasalalay lamang sa coefficient $b$. Kung zero din ang $b$, ang equation natin ay $0=0$. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay laging totoo; kaya ang $x$ ay anumang numero (karaniwang isinusulat bilang $x\in \mathbb(R)$). Kung ang koepisyent $b$ ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na $b=0$ ay hindi kailanman nasisiyahan, i.e. walang mga sagot (nakasulat $x\in \varnothing $ at basahin ang "solution set is empty").

Upang maiwasan ang lahat ng mga kumplikadong ito, ipinapalagay lang namin na $a\ne 0$, na hindi sa anumang paraan ay naghihigpit sa amin mula sa karagdagang pagmumuni-muni.

Quadratic equation

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ito ay tinatawag na isang quadratic equation:

Dito sa kaliwa ay isang polynomial ng pangalawang degree, at muli $a\ne 0$ (kung hindi man, sa halip na isang quadratic equation, makakakuha tayo ng linear). Ang mga sumusunod na equation ay nalulutas sa pamamagitan ng discriminant:

1. Kung $D \gt 0$, makakakuha tayo ng dalawang magkaibang ugat;
2. Kung $D=0$, kung gayon ang ugat ay magiging isa, ngunit sa pangalawang multiplicity (anong uri ng multiplicity ito at kung paano ito isasaalang-alang - higit pa sa na mamaya). O maaari nating sabihin na ang equation ay may dalawang magkatulad na ugat;
3. Para sa $D \lt 0$ ay walang mga ugat, at ang tanda ng polynomial na $a((x)^(2))+bx+c$ para sa anumang $x$ ay tumutugma sa tanda ng coefficient $a $. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katotohanan, na sa ilang kadahilanan ay nakalimutan na sabihin sa mga klase ng algebra.

Ang mga ugat mismo ay kinakalkula ayon sa kilalang formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Kaya, sa pamamagitan ng paraan, ang mga paghihigpit sa discriminant. Pagkatapos ng lahat, ang square root ng isang negatibong numero ay hindi umiiral. Tulad ng para sa mga ugat, maraming mga mag-aaral ang may kakila-kilabot na gulo sa kanilang mga ulo, kaya espesyal na naitala ko ang isang buong aralin: ano ang ugat sa algebra at kung paano ito kalkulahin - lubos kong inirerekumenda na basahin ito. :)

Mga operasyong may mga rational fraction

Lahat ng nakasulat sa itaas, alam mo na kung pinag-aralan mo ang paraan ng mga pagitan. Ngunit ang susuriin natin ngayon ay walang mga analogue sa nakaraan - ito ay isang ganap na bagong katotohanan.

Kahulugan. Ang rational fraction ay isang pagpapahayag ng anyo

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan))\]

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay mga polynomial.

Malinaw na madaling makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa naturang fraction - sapat lamang na iugnay ang sign na "mas malaki kaysa" o "mas mababa sa" sa kanan. At kaunti pa ay matutuklasan natin na ang paglutas ng gayong mga problema ay isang kasiyahan, ang lahat ay napaka-simple doon.

Magsisimula ang mga problema kapag mayroong ilang mga fraction sa isang expression. Kailangang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator - at sa sandaling ito na ang isang malaking bilang ng mga nakakasakit na pagkakamali ay nagagawa.

Samakatuwid, upang matagumpay na malutas ang mga makatwirang equation, kinakailangan na matatag na makabisado ang dalawang kasanayan:

1. Factorization ng polynomial $P\left(x \right)$;
2. Sa totoo lang, ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Paano i-factorize ang isang polynomial? Napakasimple. Hayaan tayong magkaroon ng polynomial ng form

I-equate natin ito sa zero. Nakukuha namin ang $n$-th degree equation:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Sabihin nating nalutas namin ang equation na ito at nakuha ang mga ugat $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (huwag mag-alala: sa karamihan ng mga kaso ay walang higit sa dalawa sa mga ugat na ito) . Sa kasong ito, ang aming orihinal na polynomial ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\kaliwa(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Iyon lang! Pakitandaan: ang nangungunang koepisyent na $((a)_(n))$ ay hindi nawala kahit saan - ito ay magiging isang hiwalay na salik sa harap ng mga bracket, at kung kinakailangan, maaari itong ipasok sa alinman sa mga bracket na ito (mga palabas sa pagsasanay na may $((a)_ (n))\ne \pm 1$ halos palaging may mga fraction sa mga ugat).

Isang gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solusyon. Una, tingnan natin ang mga denominator: lahat sila ay mga linear na binomial, at walang dapat i-factor dito. Kaya't i-factorize natin ang mga numerator:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\kaliwa(x-\frac(3)(2) \kanan)\kaliwa(x-1 \kanan)=\kaliwa(2x- 3\kanan)\kaliwa(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kaliwa(x+2 \kanan)\kaliwa(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kaliwa(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa pangalawang polynomial, ang senior coefficient na "2", alinsunod sa aming scheme, ay unang lumitaw sa harap ng bracket, at pagkatapos ay kasama sa unang bracket, dahil ang isang fraction ay lumabas doon.

Ang parehong bagay ay nangyari sa ikatlong polynomial, doon lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ay nalilito din. Gayunpaman, ang koepisyent na "−5" ay natapos na naisama sa pangalawang bracket (tandaan: maaari kang magpasok ng isang kadahilanan sa isa at isang bracket lamang!), na nagligtas sa amin mula sa abala na nauugnay sa mga fractional na ugat.

Tulad ng para sa unang polynomial, ang lahat ay simple doon: ang mga ugat nito ay hinahanap alinman sa karaniwang paraan sa pamamagitan ng discriminant, o gamit ang Vieta theorem.

Bumalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito sa mga numerator na nabulok sa mga kadahilanan:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \kanan)-\kaliwa(x-1 \kanan)-\kaliwa(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Sagot: $5x+4$.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Medyo 7th-8th grade math at yun lang. Ang punto ng lahat ng pagbabago ay gawing simple at madaling gamitin ang isang kumplikado at nakakatakot na pagpapahayag.

Gayunpaman, hindi ito palaging magiging kaso. Kaya ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang mas malubhang problema.

Ngunit una, alamin natin kung paano dalhin ang dalawang fraction sa isang karaniwang denominator. Ang algorithm ay napaka-simple:

1. I-factor ang parehong denominator;
2. Isaalang-alang ang unang denominator at idagdag dito ang mga salik na nasa pangalawang denamineytor, ngunit hindi sa una. Ang magreresultang produkto ang magiging common denominator;
3. Alamin kung anong mga salik ang kulang sa bawat orihinal na fraction upang ang mga denominador ay maging pantay sa karaniwan.

Marahil ang algorithm na ito ay tila sa iyo ay isang teksto lamang kung saan mayroong "maraming mga titik". Kaya tingnan natin ang isang partikular na halimbawa.

Isang gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Solusyon. Ang ganitong mga malalaking gawain ay pinakamahusay na nalutas sa mga bahagi. Isulat natin kung ano ang nasa unang bracket:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Hindi tulad ng nakaraang problema, dito ang mga denominator ay hindi gaanong simple. I-factorize natin ang bawat isa sa kanila.

Ang square trinomial na $((x)^(2))+2x+4$ ay hindi maaaring i-factor dahil ang equation na $((x)^(2))+2x+4=0$ ay walang mga ugat (ang discriminant ay negatibo) . Hinahayaan namin itong hindi nagbabago.

Ang pangalawang denominator, ang cubic polynomial $((x)^(3))-8$, sa mas malapit na pagsusuri ay ang pagkakaiba ng mga cube at madaling mabulok gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Wala nang iba pang maaaring i-factor, dahil ang unang bracket ay naglalaman ng isang linear binomial, at ang pangalawa ay naglalaman ng isang konstruksiyon na pamilyar sa amin, na walang tunay na mga ugat.

Panghuli, ang pangatlong denominator ay isang linear na binomial na hindi mabubulok. Kaya, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Halatang halata na ang $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ang magiging common denominator, at upang bawasan ang lahat ng fraction dito, ikaw kailangang i-multiply ang unang fraction sa $\left(x-2 \right)$, at ang huli sa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Pagkatapos ay nananatili lamang na dalhin ang mga sumusunod:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \right)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Bigyang-pansin ang pangalawang linya: kapag ang denominator ay karaniwan na, i.e. sa halip na tatlong magkakahiwalay na fraction, sumulat kami ng isang malaki, hindi mo dapat agad na alisin ang mga bracket. Mas mainam na magsulat ng isang karagdagang linya at tandaan na, sabihin nating, mayroong isang minus bago ang ikatlong bahagi - at hindi ito pupunta kahit saan, ngunit "mag-hang" sa numerator sa harap ng bracket. Ito ay magliligtas sa iyo ng maraming pagkakamali.

Buweno, sa huling linya ay kapaki-pakinabang na i-factor ang numerator. Bukod dito, ito ay isang eksaktong parisukat, at ang mga pinaikling formula ng pagpaparami ay muling tumulong sa amin. Meron kami:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bracket sa parehong paraan. Dito ay magsusulat lang ako ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Bumalik kami sa orihinal na problema at tinitingnan ang produkto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: \[\frac(1)(x+2)\].

Ang kahulugan ng problemang ito ay pareho sa nauna: upang ipakita kung gaano karaming mga makatwirang ekspresyon ang maaaring gawing simple kung lapitan mo ang kanilang pagbabago nang matalino.

At ngayon, kapag alam mo na ang lahat ng ito, lumipat tayo sa pangunahing paksa ng aralin ngayon - paglutas ng mga fractional rational inequalities. Bukod dito, pagkatapos ng naturang paghahanda, ang mga hindi pagkakapantay-pantay mismo ay mag-click na parang mga mani. :)

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Mayroong hindi bababa sa dalawang diskarte sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga ito - ang isa na karaniwang tinatanggap sa kurso sa matematika ng paaralan.

Ngunit una, tandaan natin ang isang mahalagang detalye. Ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang uri:

1. Mahigpit: $f\left(x \right) \gt 0$ o $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Hindi mahigpit: $f\left(x \right)\ge 0$ o $f\left(x \right)\le 0$.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang uri ay madaling nabawasan sa una, pati na rin ang equation:

Ang maliit na "dagdag" na ito $f\left(x \right)=0$ ay humahantong sa isang hindi kasiya-siyang bagay tulad ng mga punan na puntos - nakilala namin sila pabalik sa paraan ng pagitan. Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya suriin natin ang unibersal na algorithm:

1. Kolektahin ang lahat ng di-zero na elemento sa isang bahagi ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, sa kaliwa;
2. Dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator (kung mayroong ilang mga naturang fraction), magdala ng mga katulad na mga. Pagkatapos, kung maaari, i-factorize sa numerator at denominator. Sa isang paraan o iba pa, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kung saan ang tik ay ang inequality sign.
3. I-equate ang numerator sa zero: $P\left(x \right)=0$. Lutasin namin ang equation na ito at makuha ang mga ugat $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Pagkatapos ay kailangan namin na ang denominator ay hindi katumbas ng zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Siyempre, sa esensya, kailangan nating lutasin ang equation na $Q\left(x \right)=0$, at makuha natin ang mga ugat na $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (sa mga totoong problema ay halos hindi hihigit sa tatlong ganoong mga ugat).
4. Minarkahan namin ang lahat ng mga ugat na ito (parehong may at walang mga asterisk) sa isang linya ng numero, at ang mga ugat na walang mga bituin ay pininturahan, at ang mga may mga bituin ay pinupunch out.
5. Inilalagay namin ang mga plus at minus na palatandaan, piliin ang mga agwat na kailangan namin. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo na $f\left(x \right) \gt 0$, ang sagot ay ang mga pagitan na minarkahan ng "plus". Kung $f\left(x \right) \lt 0$, pagkatapos ay titingnan namin ang mga pagitan na may "minuses".

Ipinapakita ng pagsasanay na ang mga puntos 2 at 4 ay nagdudulot ng pinakamalaking kahirapan - mga karampatang pagbabago at tamang pag-aayos ng mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod. Well, sa huling hakbang, maging lubhang maingat: palagi kaming naglalagay ng mga palatandaan batay sa ang huling hindi pagkakapantay-pantay na isinulat bago lumipat sa mga equation. Ito ay isang pangkalahatang tuntunin na minana mula sa paraan ng pagitan.

So, may scheme. Practice tayo.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solusyon. Mayroon kaming mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$. Malinaw, ang mga puntos 1 at 2 mula sa aming pamamaraan ay nakumpleto na: ang lahat ng mga elemento ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakolekta sa kaliwa, walang kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. Kaya't magpatuloy tayo sa ikatlong punto.

Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Sa lugar na ito, maraming tao ang natigil, dahil sa teorya kailangan mong isulat ang $x+7\ne 0$, ayon sa hinihingi ng ODZ (hindi mo maaaring hatiin sa zero, iyon lang). Ngunit pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ay aalisin namin ang mga puntos na nagmula sa denominator, kaya hindi mo dapat gawing kumplikado muli ang iyong mga kalkulasyon - magsulat ng isang pantay na tanda sa lahat ng dako at huwag mag-alala. Walang magbabawas ng puntos para dito. :)

Pang-apat na punto. Markahan namin ang nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit

Tandaan: lahat ng puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At dito hindi na mahalaga: ang mga puntong ito ay nagmula sa numerator o mula sa denominator.

Well, tingnan ang mga palatandaan. Kumuha ng anumang numero $((x)_(0)) \gt 3$. Halimbawa, $((x)_(0))=100$ (ngunit maaari kang kumuha ng $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nakukuha namin:

Kaya, sa kanan ng lahat ng mga ugat mayroon kaming isang positibong lugar. At kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda (hindi ito palaging magiging kaso, ngunit higit pa sa susunod). Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa ikalimang punto: inilalagay namin ang mga palatandaan at pinipili ang tama:

Bumalik tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na bago malutas ang mga equation. Sa totoo lang, ito ay kasabay ng orihinal, dahil hindi kami nagsagawa ng anumang pagbabago sa gawaing ito.

Dahil kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$, nilagyan ko ng shade ang interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ito lang ang minarkahan ng minus sign. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-7;3 \right)$

Iyon lang! Mahirap ba? Hindi, hindi mahirap. Sa katunayan, ito ay isang madaling gawain. Ngayon, gawing kumplikado ng kaunti ang misyon at isaalang-alang ang isang mas "fancy" na hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nilulutas ito, hindi na ako magbibigay ng mga detalyadong kalkulasyon - balangkasin ko lang ang mga pangunahing punto. Sa pangkalahatan, aayusin namin ito sa paraang gagawin sana namin sa isang independiyenteng gawain o pagsusulit. :)

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$. Ang lahat ng hindi zero na elemento ay kinokolekta sa kaliwa, walang iba't ibang mga denominator. Lumipat tayo sa mga equation.

Numerator:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Denominator:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Hindi ko alam kung anong uri ng pervert ang bumubuo sa problemang ito, ngunit ang mga ugat ay hindi naging maganda: magiging mahirap ayusin ang mga ito sa isang linya ng numero. At kung ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw sa ugat na $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ito ang tanging positibong numero - ito ay nasa kanan), kung gayon $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ at $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ay nangangailangan ng karagdagang pag-aaral: alin ay mas malaki?

Maaari mong malaman ito, halimbawa:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Sana hindi na kailangang ipaliwanag kung bakit ang numeric fraction na $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Kung kinakailangan, inirerekumenda kong tandaan kung paano magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction.

At minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng numero:

Ang mga puntos mula sa numerator ay may kulay, mula sa denominator ay pinutol ang mga ito

Naglalagay kami ng mga karatula. Halimbawa, maaari kang kumuha ng $((x)_(0))=1$ at alamin ang sign sa puntong ito:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay bago ang mga equation ay $f\left(x \right)\ge 0$, kaya interesado kami sa plus sign.

Nakakuha kami ng dalawang set: ang isa ay isang ordinaryong segment, at ang isa ay isang bukas na sinag sa linya ng numero.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Isang mahalagang tala tungkol sa mga numero na aming pinapalitan upang malaman ang sign sa pinakakanang pagitan. Hindi kinakailangang palitan ang isang numerong malapit sa pinakakanang ugat. Maaari kang kumuha ng bilyun-bilyon o kahit na "plus-infinity" - sa kasong ito, ang tanda ng polynomial sa bracket, numerator o denominator ay tinutukoy lamang ng tanda ng nangungunang koepisyent.

Tingnan natin muli ang $f\left(x \right)$ function mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay:

Naglalaman ito ng tatlong polynomial:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\kaliwa(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay mga linear na binomial, at lahat ng mga ito ay may mga positibong coefficient (mga numero 7, 11 at 13). Samakatuwid, kapag pinapalitan ang napakalaking numero, ang mga polynomial mismo ay magiging positibo din. :)

Ang panuntunang ito ay maaaring mukhang sobrang kumplikado, ngunit sa una lang, kapag pinag-aralan natin ang napakadaling mga problema. Sa malubhang hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpapalit ng "plus-infinity" ay magbibigay-daan sa amin na malaman ang mga palatandaan nang mas mabilis kaysa sa karaniwang $((x)_(0))=100$.

Haharapin natin ang mga ganitong hamon sa lalong madaling panahon. Ngunit una, tingnan natin ang isang alternatibong paraan upang malutas ang mga fractional rational inequalities.

Alternatibong paraan

Ang pamamaraan na ito ay iminungkahi sa akin ng isa sa aking mga mag-aaral. Ako mismo ay hindi kailanman gumamit nito, ngunit ipinakita ng pagsasanay na talagang mas maginhawa para sa maraming mga mag-aaral na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan.

Kaya, ang orihinal na data ay pareho. Kailangan nating lutasin ang isang fractional rational inequality:

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan)) \gt 0\]

Isipin natin: bakit ang polynomial na $Q\left(x \right)$ ay "mas malala" kaysa sa polynomial na $P\left(x \right)$? Bakit kailangan nating isaalang-alang ang magkakahiwalay na grupo ng mga ugat (may at walang asterisk), isipin ang tungkol sa mga punched point, atbp.? Ito ay simple: ang isang fraction ay may domain ng kahulugan, ayon sa kung saan ang fraction ay may katuturan lamang kapag ang denominator nito ay iba sa zero.

Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng numerator at denominator: itinutumbas din natin ito sa zero, hanapin ang mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa linya ng numero. Kaya bakit hindi palitan ang fractional bar (sa katunayan, ang division sign) ng karaniwang multiplikasyon, at isulat ang lahat ng mga kinakailangan ng DHS bilang isang hiwalay na hindi pagkakapantay-pantay? Halimbawa, tulad nito:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pakitandaan: ang diskarte na ito ay magpapahintulot sa iyo na bawasan ang problema sa paraan ng mga agwat, ngunit hindi nito gagawing kumplikado ang solusyon sa lahat. Pagkatapos ng lahat, gayon pa man, itutumbas natin ang polynomial na $Q\left(x \right)$ sa zero.

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga totoong gawain.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solusyon. Kaya, lumipat tayo sa paraan ng agwat:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa elementarya. Itakda lamang ang bawat panaklong sa zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ay simple din:

Minarkahan namin ang mga puntos na $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$ sa totoong linya. Lahat sila ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit:

Ang tamang punto ay nabutas ng dalawang beses. Ito ay mabuti.

Bigyang-pansin ang puntong $x=11$. Lumalabas na ito ay "dalawang beses na na-gouged out": sa isang banda, nabubulok natin ito dahil sa tindi ng hindi pagkakapantay-pantay, sa kabilang banda, dahil sa karagdagang kinakailangan ng ODZ.

Sa anumang kaso, ito ay magiging isang punctured point lamang. Samakatuwid, naglalagay kami ng mga palatandaan para sa hindi pagkakapantay-pantay na $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ang huling nakita namin bago namin simulan ang paglutas ng mga equation:

Interesado kami sa mga positibong rehiyon, dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \gt 0$, at kukulayan namin ang mga ito. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Gamit ang solusyon na ito bilang isang halimbawa, nais kong balaan ka laban sa isang karaniwang pagkakamali sa mga baguhang estudyante. Namely: hindi kailanman buksan ang mga panaklong sa hindi pagkakapantay-pantay! Sa kabaligtaran, subukang i-factor ang lahat - ito ay gawing simple ang solusyon at i-save ka ng maraming mga problema.

Ngayon subukan natin ang isang bagay na mas mahirap.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan))(15x+33)\le 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right)\le 0$, kaya dito kailangan mong maingat na subaybayan ang mga punan na puntos.

Lumipat tayo sa paraan ng pagitan:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Lumipat tayo sa equation:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Isinasaalang-alang namin ang karagdagang kinakailangan:

Markahan namin ang lahat ng nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Kung ang isang punto ay parehong napunch out at pinunan sa parehong oras, ito ay itinuturing na punch out.

Muli, dalawang puntos ang "nagpapatong" sa isa't isa - ito ay normal, ito ay palaging magiging gayon. Mahalaga lamang na maunawaan na ang isang puntong minarkahan bilang napunch out at napunan ay talagang isang punched out na punto. Yung. Ang "Gouging" ay isang mas malakas na aksyon kaysa sa "pagpinta".

Ito ay ganap na lohikal, dahil sa pamamagitan ng pagbubutas ay minarkahan namin ang mga puntos na nakakaapekto sa pag-sign ng function, ngunit hindi sila nakikilahok sa sagot. At kung sa isang punto ang numero ay hindi na umaangkop sa amin (halimbawa, hindi ito nahuhulog sa ODZ), tatanggalin namin ito mula sa pagsasaalang-alang hanggang sa pinakadulo ng gawain.

Sa pangkalahatan, itigil ang pamimilosopo. Inaayos namin ang mga palatandaan at pintura sa mga pagitan na minarkahan ng minus sign:

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

At muli nais kong iguhit ang iyong pansin sa equation na ito:

\[\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan)\kaliwa(15x+33 \kanan)=0\]

Muli: huwag kailanman buksan ang mga panaklong sa gayong mga equation! Pinahihirapan mo lang ang sarili mo. Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dahil dito, ang equation na ito ay "nahuhulog" lamang sa ilang mas maliit, na nalutas namin sa nakaraang problema.

Isinasaalang-alang ang multiplicity ng mga ugat

Mula sa mga nakaraang problema, madaling makita na tiyak na ang mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang pinakamahirap, dahil sa kanila kailangan mong subaybayan ang mga punong puntos.

Ngunit mayroong isang mas malaking kasamaan sa mundo - ito ay maraming mga ugat ng hindi pagkakapantay-pantay. Narito ito ay kinakailangan upang sundin ang hindi ilang mga punong punto doon - dito ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay maaaring hindi biglang magbago kapag dumaan sa parehong mga puntong ito.

Hindi pa namin nasasaalang-alang ang anumang bagay na tulad nito sa araling ito (bagaman ang isang katulad na problema ay madalas na nakatagpo sa paraan ng pagitan). Kaya't ipakilala natin ang isang bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang ugat ng equation na $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ay katumbas ng $x=a$ at tinatawag na ugat ng $n$th multiplicity.

Sa totoo lang, hindi kami partikular na interesado sa eksaktong halaga ng multiplicity. Ang tanging mahalagang bagay ay kung ang mismong numerong $n$ ay pantay o kakaiba. dahil:

1. Kung ang $x=a$ ay isang ugat ng kahit multiplicity, kung gayon ang tanda ng function ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito;
2. At sa kabaligtaran, kung ang $x=a$ ay isang ugat ng kakaibang multiplicity, ang tanda ng function ay magbabago.

Ang isang espesyal na kaso ng isang ugat ng kakaibang multiplicity ay ang lahat ng mga nakaraang problema na isinasaalang-alang sa araling ito: doon ang multiplicity ay katumbas ng isa sa lahat ng dako.

At higit pa. Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, nais kong ituon ang iyong pansin sa isang kapitaganan na tila halata sa isang may karanasang mag-aaral, ngunit nagtutulak sa maraming baguhan sa pagkahilo. Namely:

Ang multiplicity root na $n$ ay nangyayari lamang kapag ang buong expression ay nakataas sa ganitong kapangyarihan: $((\left(x-a \right))^(n))$, at hindi $\left(((x)^( n) )-a\kanan)$.

Muli: ang bracket na $((\left(x-a \right))^(n))$ ay nagbibigay sa atin ng root $x=a$ ng multiplicity $n$, ngunit ang bracket na $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, gaya ng madalas na nangyayari, ang $(a-((x)^(n)))$ ay nagbibigay sa atin ng ugat (o dalawang ugat, kung ang $n$ ay pantay) ng unang multiplicity , anuman ang katumbas ng $n$.

Ihambing:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Ang lahat ay malinaw dito: ang buong bracket ay itinaas sa ikalimang kapangyarihan, kaya sa output nakuha namin ang ugat ng ikalimang degree. At ngayon:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mayroon kaming dalawang ugat, ngunit pareho sa kanila ang unang multiplicity. O narito ang isa pa:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

At huwag malito sa ikasampung degree. Ang pangunahing bagay ay ang 10 ay isang kahit na numero, kaya mayroon kaming dalawang ugat sa output, at pareho silang muli ang unang multiplicity.

Sa pangkalahatan, mag-ingat: ang multiplicity ay nangyayari lamang kapag ang degree ay nalalapat sa buong bracket, hindi lang sa variable.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))((\kaliwa(6-x \kanan))^(3))\kaliwa(x+4 \kanan))(((\kaliwa(x+7) \kanan))^(5)))\ge 0\]

Solusyon. Subukan nating lutasin ito sa isang alternatibong paraan - sa pamamagitan ng paglipat mula sa partikular sa produkto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\tama.\]

Nakikitungo kami sa unang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Bukod pa rito, nalulutas namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, nalutas na namin ito, ngunit upang ang mga tagasuri ay hindi makahanap ng kasalanan sa solusyon, mas mahusay na lutasin ito muli:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Tandaan na walang multiplicity sa huling hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan: ano ang pagkakaiba nito kung gaano karaming beses na i-cross out ang puntong $x=-7$ sa linya ng numero? Hindi bababa sa isang beses, hindi bababa sa limang beses - ang resulta ay magiging pareho: isang punctured point.

Tandaan natin ang lahat ng nakuha natin sa linya ng numero:

Gaya ng sinabi ko, ang $x=-7$ point ay tuluyang mapupuksa. Ang mga multiplicity ay isinaayos batay sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat.

Ito ay nananatiling ilagay ang mga palatandaan:

Dahil ang puntong $x=0$ ay isang ugat ng kahit multiplicity, ang tanda ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito. Ang natitirang mga puntos ay may kakaibang multiplicity, at lahat ay simple sa kanila.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Bigyang-pansin muli ang $x=0$. Dahil sa kahit na multiplicity, lumitaw ang isang kawili-wiling epekto: lahat sa kaliwa nito ay pininturahan, sa kanan - din, at ang punto mismo ay ganap na pininturahan.

Bilang resulta, hindi ito kailangang ihiwalay kapag nagre-record ng tugon. Yung. hindi mo kailangang magsulat ng isang bagay tulad ng $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bagama't sa pormal na sagot ay magiging tama rin). Sa halip, agad naming isinusulat ang $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Ang ganitong mga epekto ay posible lamang para sa mga ugat ng kahit multiplicity. At sa susunod na gawain, makakatagpo tayo ng kabaligtaran na "pagpapakita" ng epektong ito. handa na?

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((\kaliwa(x-3 \kanan)))^(4))\kaliwa(x-4 \kanan))(((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2)) \kaliwa(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Solusyon. Sa pagkakataong ito ay susundin natin ang karaniwang pamamaraan. Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Dahil nilulutas natin ang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$, ang mga ugat mula sa denominator (na may mga asterisk) ay puputulin, at ang mga mula sa numerator ay ipininta sa ibabaw. .

Inaayos namin ang mga palatandaan at hinampas ang mga lugar na minarkahan ng "plus":

Ang puntong $x=3$ ay nakahiwalay. Ito ay bahagi ng sagot

Bago isulat ang huling sagot, tingnang mabuti ang larawan:

1. Ang puntong $x=1$ ay may pantay na multiplicity, ngunit mismong nabutas. Samakatuwid, ito ay kailangang ihiwalay sa sagot: kailangan mong isulat ang $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, at hindi $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Ang puntong $x=3$ ay mayroon ding pantay na multiplicity at may kulay. Ang pag-aayos ng mga palatandaan ay nagpapahiwatig na ang punto mismo ay nababagay sa atin, ngunit isang hakbang sa kaliwa at kanan - at nakita natin ang ating sarili sa isang lugar na tiyak na hindi angkop sa atin. Ang mga nasabing punto ay tinatawag na isolated at isinusulat bilang $x\in \left\( 3 \right\)$.

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuhang piraso sa isang karaniwang hanay at isulat ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Kahulugan. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito, o patunayan na walang laman ang set na ito.

Tila: ano ang maaaring hindi maunawaan dito? Oo, ang katotohanan ng bagay ay ang mga hanay ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Isulat muli natin ang sagot sa huling problema:

Literal na binabasa namin ang nakasulat. Ang variable na "x" ay kabilang sa isang tiyak na hanay, na nakuha ng unyon (simbulo "U") ng apat na magkakahiwalay na hanay:

• Ang pagitan ng $\left(-\infty ;1 \right)$, na literal na nangangahulugang "lahat ng mga numerong mas mababa sa isa, ngunit hindi isa mismo";
• Ang pagitan ay $\left(1;2 \right)$, i.e. "lahat ng mga numero sa pagitan ng 1 at 2, ngunit hindi ang mga numero 1 at 2 mismo";
• Ang set na $\left\( 3 \right\)$, na binubuo ng isang solong numero - tatlo;
• Ang pagitan na $\left[ 4;5 \right)$ ay naglalaman ng lahat ng mga numero sa pagitan ng 4 at 5, kasama ang 4 mismo, ngunit hindi 5.

Ang ikatlong punto ay interesado dito. Hindi tulad ng mga agwat, na tumutukoy sa mga walang katapusang hanay ng mga numero at tumutukoy lamang sa mga hangganan ng mga hanay na ito, ang set na $\left\( 3 \right\)$ ay tumutukoy sa eksaktong isang numero sa pamamagitan ng enumeration.

Upang maunawaan na inililista namin ang mga partikular na numero na kasama sa set (at hindi nagtatakda ng mga hangganan o anumang bagay), ginagamit ang mga kulot na brace. Halimbawa, ang notasyong $\left\( 1;2 \right\)$ ay nangangahulugang eksaktong "isang set na binubuo ng dalawang numero: 1 at 2", ngunit hindi isang segment mula 1 hanggang 2. Sa anumang kaso huwag malito ang mga konseptong ito .

Panuntunan sa pagdaragdag ng multiplicity

Well, sa pagtatapos ng aralin ngayon, isang maliit na lata mula kay Pavel Berdov. :)

Ang matulungin na mga mag-aaral ay malamang na nagtanong sa kanilang sarili ng tanong: ano ang mangyayari kung ang parehong mga ugat ay matatagpuan sa numerator at denominator? Kaya gumagana ang sumusunod na panuntunan:

Ang mga multiplicity ng magkatulad na mga ugat ay idinagdag. Ay laging. Kahit na ang ugat na ito ay nangyayari sa parehong numerator at denominator.

Minsan mas mabuting magdesisyon kaysa magsalita. Samakatuwid, malulutas namin ang sumusunod na problema:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= - apat. \\ \end(align)\]

Sa ngayon, walang espesyal. Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Dalawang magkaparehong ugat ang matatagpuan: $((x)_(1))=-2$ at $x_(4)^(*)=-2$. Parehong may unang multiplicity. Samakatuwid, pinapalitan namin ang mga ito ng isang ugat na $x_(4)^(*)=-2$, ngunit may multiplicity na 1+1=2.

Bilang karagdagan, mayroon ding magkaparehong mga ugat: $((x)_(2))=-4$ at $x_(2)^(*)=-4$. Sila rin ay nasa unang multiplicity, kaya $x_(2)^(*)=-4$ na lang ng multiplicity 1+1=2 ang natitira.

Pakitandaan: sa parehong mga kaso, iniwan namin nang eksakto ang "pinutol" na ugat, at itinapon ang "pininturahan" mula sa pagsasaalang-alang. Dahil kahit na sa simula ng aralin, nagkasundo kami: kung ang isang punto ay parehong pinutol at pininturahan sa parehong oras, pagkatapos ay itinuturing pa rin namin itong punch out.

Bilang isang resulta, mayroon kaming apat na ugat, at lahat ng mga ito ay na-gouged out:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\kaliwa(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\kaliwa(2k \kanan). \\ \end(align)\]

Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero, isinasaalang-alang ang multiplicity:

Inilalagay namin ang mga palatandaan at pintura sa mga lugar na interesado sa amin:

Lahat. Walang ilang mga punto at iba pang mga perversions. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

tuntunin sa pagpaparami

Minsan ang isang mas hindi kasiya-siyang sitwasyon ay nangyayari: ang isang equation na may maraming mga ugat ay itinaas mismo sa isang tiyak na kapangyarihan. Binabago nito ang multiplicity ng lahat ng orihinal na ugat.

Ito ay bihira, kaya karamihan sa mga estudyante ay walang karanasan sa paglutas ng mga ganitong problema. At ang panuntunan dito ay:

Kapag ang isang equation ay itinaas sa isang kapangyarihan $n$, ang multiplicity ng lahat ng mga ugat nito ay tataas din ng isang factor na $n$.

Sa madaling salita, ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nagreresulta sa pagpaparami ng multiplicity sa parehong kapangyarihan. Kunin natin ang panuntunang ito bilang isang halimbawa:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x((\left(((x)^(2)))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\kaliwa(2-x \kanan))^(3))((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Solusyon. Itakda ang numerator sa zero:

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Malinaw ang lahat sa unang multiplier: $x=0$. At dito magsisimula ang mga problema:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kaliwa(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kaliwa(2k \kanan)\kaliwa(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\kaliwa(4k \kanan) \\ \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, ang equation na $((x)^(2))-6x+9=0$ ay may natatanging ugat ng pangalawang multiplicity: $x=3$. Ang buong equation ay pagkatapos ay parisukat. Samakatuwid, ang multiplicity ng root ay magiging $2\cdot 2=4$, na sa wakas ay isinulat namin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Wala ring problema sa denominator:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Sa kabuuan, nakakuha kami ng limang puntos: dalawa ang na-punch out at tatlo ang napunan. Walang magkatulad na mga ugat sa numerator at denominator, kaya markahan lamang namin ang mga ito sa linya ng numero:

Inaayos namin ang mga palatandaan na isinasaalang-alang ang mga multiplicity at pintura sa mga pagitan ng interes sa amin:

Muli isang nakahiwalay na punto at isang nabutas

Dahil sa mga ugat ng kahit multiplicity, muli kaming nakatanggap ng ilang "hindi pamantayan" na mga elemento. Ito ay $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, hindi $x\in \left[ 0;2 \right)$, at isa ring nakahiwalay na punto $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Sagot. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay pagkaasikaso. Ang huling bahagi ng araling ito ay nakatuon sa mga pagbabago - ang mismong mga tinalakay natin sa simula pa lamang.

Mga preconversion

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tatalakayin natin sa seksyong ito ay hindi kumplikado. Gayunpaman, hindi tulad ng mga nakaraang gawain, dito kailangan mong ilapat ang mga kasanayan mula sa teorya ng rational fractions - factorization at reduction sa isang common denominator.

Detalyadong tinalakay namin ang isyung ito sa simula ng aralin ngayon. Kung hindi ka sigurado na nauunawaan mo kung tungkol saan ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka at ulitin. Dahil walang saysay ang pag-cram ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay kung ikaw ay "lumalangoy" sa conversion ng mga fraction.

Sa araling-bahay, sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon din ng maraming katulad na mga gawain. Ang mga ito ay inilalagay sa isang hiwalay na subsection. At doon ay makakahanap ka ng mga napaka-walang kuwentang halimbawa. Ngunit ito ay magiging sa araling-bahay, ngunit ngayon ay pag-aralan natin ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Binabawasan namin sa isang karaniwang denominator, buksan ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino sa numerator:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ngayon ay mayroon na tayong classical fractional rational inequality, ang solusyon nito ay hindi na mahirap. Iminumungkahi kong lutasin ito sa pamamagitan ng isang alternatibong pamamaraan - sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Huwag kalimutan ang pagpilit na nagmumula sa denominator:

Minarkahan namin ang lahat ng mga numero at mga paghihigpit sa linya ng numero:

Ang lahat ng mga ugat ay may unang multiplicity. Walang problema. Ilalagay lang namin ang mga karatula at pintura sa mga lugar na kailangan namin:

Ito ay lahat. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Siyempre, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa. Kaya ngayon, tingnan natin ang problema. At sa pamamagitan ng paraan, ang antas ng gawaing ito ay medyo pare-pareho sa independyente at kontrol na gawain sa paksang ito sa ika-8 baitang.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bago dalhin ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator, nabubulok namin ang mga denominador na ito sa mga salik. Biglang lalabas ang parehong mga bracket? Sa unang denominator madali:

\[((x)^(2))+8x-9=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\]

Ang pangalawa ay medyo mas mahirap. Huwag mag-atubiling magdagdag ng palaging multiplier sa bracket kung saan natagpuan ang fraction. Tandaan: ang orihinal na polynomial ay may integer coefficients, kaya malaki ang posibilidad na ang factorization ay magkakaroon din ng integer coefficients (sa katunayan, ito ay palaging, maliban kung ang discriminant ay hindi makatwiran).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan) \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, mayroong isang karaniwang bracket: $\left(x-1 \right)$. Bumalik tayo sa hindi pagkakapantay-pantay at dinadala ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kaliwa(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(align)\]

Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ihanay)\]

Walang multipliities at walang coinciding roots. Minarkahan namin ang apat na numero sa isang tuwid na linya:

Inilalagay namin ang mga palatandaan:

Sinusulat namin ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ tama)$.

Lahat! Ganun, nabasa ko hanggang sa linyang ito. :)